2020年度 茨城県公立高校入試問題【数学】解説

問題はコチラ→PDFファイル
ココ茨城ですよね??:(っ`ω´c):

大問1(小問集合)

しょっぱなから面食らった人は少なくないはず。
(1)
〔前日の最低気温〕+2℃=-3℃
前日の最低気温=-3-2=-5℃

(2)
□×□=50cm2
□=√50=5√2cm

(3)
封筒…ag
5枚の便箋…5bg
これらが60gより重かったので、a+5b>60

(4)
『BがCと重なる』
→折り目を対称の軸とすると、BとCは対応する点。
すなわち、折り目はBとCの垂直二等分線
折り目となる『線分』なので、△ABC内部だけの線がベターかも。

大問2(小問集合2)

(1)
整数の証明。
3桁の自然数で百の位がa、十の位がb、一の位が5
→100a+10b+5 …ア

5の倍数であることを証明したいので、5×( イ )の形に変形する。
100a+10b+5=(20a+2b+1)
イ…20a+2b+1

(2)
1文目から、x+y=6300
ア…x+y

2文目から、ポロシャツが2割引き→x×0.8
トレーナーは800円安く買った→y-800円
0.8x+y-800=5000
イ…0.8x+y-800
*計算式のみでOK。
答えを求めると、x=2500、y=3800

(3)
y=x2より各々の座標を算出。
A(-3、9)→B(2、4)
右に5、下に5だから傾きは-5/5=-1
Aから右に3、下に3で、切片は9-3=6
AB;y=-x+6
y=0を代入。
0=-x+6
x=6
C(6、0)

@別解@

①傾きが-1なので赤い三角形は直角二等辺三角形
切片6さえわかれば、C(6、0)と即答できる。
②相似を利用すれば、Cのx座標は4+2=6

(4)
AからEに着くには、出目の合計が4か9。
◆出目の和が4
(1、3)(3、1)(2、2)
◆出目の和が9
(6、3)(3、6)(5、4)(4、5)
以上、7通り。
7/36


大問3(平面図形)

(1)

弧CDに対する円周角より、∠DBC=20°
△ABCは二等辺だから、∠ABC=(180-40)÷2=70°
∠ABE=70-20=50°

(2)①
△ABE≡△ACDの証明。
証明問題としては基本なのでとりたい。

問題文から1辺と1つの角が等しいとわかっているので、
弧ADに対する円周角からもう1つの等角を指摘する。
1辺と両端角より合同。



前問の合同より、AD=AE
△ADEは二等辺となり、底角が等しい。
各々の底角を、対頂角と弧ABに対する円周角で移動させると、
△BCEの底角も×で等しくなり、二等辺となる

△ABCも二等辺で、底角が×で等しい。
つまり、3つの二等辺三角形はすべて相似で、辺の比は3:3:2である
△ABC∽△BECより、CE=2×2/3=4/3
cm
AE=3-4/3=5/3cm
AD=AE=5/3cm

大問4(数量変化)

(1)
タオル1枚につき100円かかるので、傾きは100。
初期費用3000円から、y=100xをy軸に対して+3000平行移動する。
y=100x+3000

(2)
A店…図より、6500円
B店…前問の式にx=30を代入。 100×30+3000=6000円
したがって、B店が500円安い。

(3)
B店をグラフに乗せる。

目盛りの幅に注意!横軸は10、縦軸は500ずつ。
前問でx=30のときy=6000だったので、
(0、3000)から(30、6000)を通る直線をひく。

40≦x≦80の範囲でBがAを下回る範囲を探す
留意点は、50と60は含まない
50枚のとき、A店は6500円、B店は8000円。
60枚のとき、A店は9000円、B店は9000円と値段が等しいので、
『B店の方がA店よりも安い』にはならない。
51枚以上59枚以下

大問5(資料問題)

(1)
最頻値(モード)は最もあらわれている度数。
階級値で答えること。
すなわち、20と22の平均である21m。

(2)
20m未満の度数は3+2+2=7
7÷50=7/50=14/100=0.14
相対度数であれば0.14だが、百分率なので14%

(3)
中央値と平均値の違い。
標本調査ではよくある記述問題なので、ここも取りたい。

50人の中央値(メジアン)は、25番目と26番目の平均値。
図から頑張って調べると、25番目と26番目も24以上26未満の階級にある。
つまり、中央値は24以上26未満に含まれ、太郎の記録は中央値より小さくなるから、
25番目以内には入らないことになる。

大問6(空間図形)

(1)
立面図…正面からみた図。
平面図…上からみた図。
解答では2つ選択する・゚・(゚`Д´゚)・゚・

眺める方向だけを変えるので、立体Pを傾けたり裏返すのはNG
平面図は四角形AMNDしか見れないので、正方形しかない。
これだけでア・エとしぼれる。

(2)

△CDNで三平方→DN=√5cm
四角形AMNDの面積は、2×√5=2√5cm2

(3)
ありがたいことにアングルを変えた図が用意されている。

先ほど、四角形AMNDの面積を求めたので、
この高さがわかれば四角錘E-AMNDの体積がわかる。

Eから垂線をおろし、交点をIとする。
EFとAMの交点をJとする。
△JFM∽△JEAより、FM:EA=1:2から、
JM=√5、JF=2
△JFM∽△JIEより、JM:JE=√5:4から、
EI=1×4/√5=4√5/5cm

したがって、2√5×4√5/5÷3=8/3cm3

@別解
高さEIについてです。

切断された部分を復元すると、△MAJの辺の比は1:2:√5
△MAJ∽△AEIより、EI=2×2/√5=4√5/5cm

@別解2@
前問の答えを無視してもできる。

図2を使います。
EMとHNは平行
三角柱EAM-HDNから後ろの三角錐E-HDNを引けば四角錘E-AMNDになる。
三角錐は三角柱の3分の1。
三角柱EAM-HDNの体積を③とすると、三角錐E-HDNは①、
四角錘E-AMNDは②となる。
2×2÷2×2×2/3=8/3cm3
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