2013年度　千葉県公立高校入試【前期】数学解説

問題はコチラ→ＰＤＦファイル

大問１（計算）

（１）７－（－５）
＝７＋５＝１２

（２）（－４）²＋３×（－２）
＝１６－６＝１０

（３）３/２ｘ－６ｙ－１/４（３ｘ－８ｙ）
＝３/２ｘ－６ｙ－３/４ｘ＋２ｙ　←後半の符号注意
＝３/４ｘ－４ｙ

（４）２：５＝（ｘ－２）：（ｘ＋７）
内項の積を外項の積が一緒であることから、
５（ｘ－２）＝２（ｘ＋７）
５ｘ－１０＝２ｘ＋１４
３ｘ＝２４
ｘ＝８

（５）√４５－√２０＋１５/√５
＝３√５－２√５＋３√５　←√５に統一
＝４√５

（６）（ｘ＋１）（ｘ－７）－２０
＝ｘ^２－６ｘ－７－２０
＝ｘ^２－６ｘ－２７
＝（ｘ－９）（ｘ＋３）

大問２（小問集合）

（１）
文字式。問題文から、ａ＝７ｂ＋３
これをｂについて解く。
７ｂ＝ａ－３
ｂ＝（ａ－３）/７　　よって、エ

（２）
ＢＣとＣＤに補助線をひく。

（弧ＣＤ＝弧ＤＥ）
図形が円に囲まれている→円周角定理
円周角の定理から、弧ＢＣに対して∠ＢＡＣ＝∠ＢＤＣ＝２４°
弧ＣＤ＝弧ＤＥから、ＣＤ＝ＤＥ→△ＤＥＣは二等辺三角形
∠ＣＥＤ＝ＤＣＥ＝３８°
△ＣＤＦより、１８０－（３８＋２４）＝１１８°

（３）
＠通常の平均計算＠
Ａ～Ｅの身長を求める。
Ａ＝１６０＋８＝１６８
Ｂ＝１６０－２＝１５８
Ｃ＝１６０＋５＝１６５
Ｄ＝１６０
Ｅ＝１６０＋２＝１６２
６人の身長の総和は、１６１．５×６＝９６９
よって、９６９－（１６８＋１５８＋１６６＋１６０＋１６２）
＝９６９－８１３＝１５６ｃｍ

＠仮の平均を用いる方法＠
仮の平均を１６０とおく。
６人の身長の平均は仮の平均より、１６１．５－１６０＝＋１．５
身長の総和は、仮の身長で計算するときより、＋１．５×６＝＋９になる。
Ｆの身長をｘとおくと、
＋８－２＋５＋０＋２＋ｘ＝＋９
ｘ＝－４
よって、１６０－４＝１５６ｃｍ

（４）
球が登場。
球の体積は、４/３πｒ³
４/３×３×３×３×π＝３６πｃｍ³・・・円柱の体積
４×４×π＝１６πｃｍ²・・・円柱の底面積
よって、円柱の高さは、３６π/１６π＝９/４ｃｍ

（５）
＠情報の整理＠
白＝大きいサイコロ　　左周りに進む
黒＝小さいサイコロ　　左から☆型に進む

白（大きいサイコロの目）を基準に場合わけ。
（白、黒）＝（大、小）＝（１、３）（２、１）（２、６）（３、４）（４、２）（５、５）（６、３）
*２の目のときだけ２つある。
大小サイコロ全ての出目パターンは、６×６＝３６
したがって、７/３６

（６）
恒例の作図問題。ヒネリがあって難しい。
２点Ａ、Ｂから等距離＝ＡＢの垂直二等分線上に点Ｐがある。

Ａからヒョコ。

同じ長さでＢからヒョコ。

この線上のどこかにＰがある。

ここからが本題。
∠ＢＰＣが３０°となるようなＰの位置を確定したい。
３０°といえば、正三角形や直角三角形を思い浮かぶが、
点Ｐの位置が不明なので、∠ＢＰＣを直接、描くのが難しい。

そこで、円周角の定理を使う。
中心角６０度であれば、円周角はどこも３０°であることを利用する。

この円周上のどこかに点Ｐがある。
△ＯＢＣは、ＯＢ＝ＯＣで∠ＢＯＣ＝６０°すなわち正三角形となる。
ＢＣを１辺とする正三角形を作図する。

ＢからＣとの距離をとってヒョコ。

同じ長さでＣからヒョコ。

目分量で書いたのでかなりいびつな正三角形に・・。
交点が円の中心になる。

半径ＯＢ，ＯＣとなるよう、グルッと円を書く。
さきほどの垂直二等分線と交わる点がＰとなる。
ただし、上の交点は陸地なので、船が通れないので×。

大問３（関数）

（１） ＡＣ＝ＢＣということは、△ＡＢＣは点Ｃを頂角とした二等辺三角形。

よって、Ｃのｘ座標は２。
ここから、点Ａ、Ｂ、Ｃの座標をすべて求める。
Ａ（４、４）　Ｂ（０、４）　Ｃ（２、１）
△ＡＢＣは底辺が４で高さが３。
４×３÷２＝６ｃｍ²

（２）
この手の問題は、座標を文字に置き換える。
ｘ座標、ｙ座標の値がともに小さいＣのｘ座標をａとおく。

点Ｃ（ａ、ａ^２/４）
点Ａのｘ座標は点Ｃのｘ座標の２倍なので、Ａ（２ａ、ａ^２）

ここで、△ＡＢＣをピックアップ。

正方形を描くと、ＡＢは正方形の対角線、ＡＢと点Ｃとの距離は対角線の半分。
すると、３/４・ａ²×２＝２ａ　と二次方程式ができる。
３/２・ａ²＝２ａ
３ａ²＝４ａ
３ａ＝４
ａ＝４/３　・・・Ｃのｘ座標
点Ａのｘ座標は２ａなので、８/３
よって、Ａ（８/３、１６/９）

大問４（方程式＆規則）

あまり見かけないパターンの文章問題。文字式を使って、丁寧に長さを判定していく。
（１）
対角線×対角線÷２＝正方形の面積

対角線ＢＤ＝２ｘより、
ｙ＝２ｘ×２ｘ÷２＝２ｘ²

（２）
（１）と同様。

外の正方形－中の正方形＝灰色部分

中の正方形は、{２（ｘ－２）}²÷２＝（２ｘ－４）²÷２＝２ｘ²－８ｘ＋８
外の正方形は、（１）より、２ｘ²
したがって、ｙ＝２ｘ²－（２ｘ²－８ｘ＋８）＝８ｘ－８

（３）（ａ）【１】は２秒周期、【２】と【３】は３秒周期、【４】は４秒周期。
２と３と４の最小公倍数１２秒後まで調べる。（２＜ｘ≦３を３秒後と考えてしまう）

以後、１２秒間で上の規則が繰り返される。
次に全てつくのは、２周期目のはじめ、つまり１３秒後まで（１２＜ｘ≦１３）
よって、ア・・１２　　イ・・１３

（ｂ）１０１÷１２＝８…５
１０１秒は、８周期＋５秒。
つまり、上の周期表の５番目が、１０１秒後の状況。
よって、点灯するのは【１】、【３】、【４】。

大問５（平面図形）

（１）
（a）【１】は正三角形の説明。
正三角形の１辺であり、△ＡCFの１辺でもあるACが答え。　よって、ア

（ｂ）説明から∠ＢＣＡ＝∠ＡＣＤ＝∠ＤＣＦ＝６０°
　　∠ＢＣＥに対応する角は∠ＡＣＦも１２０°となる。　　よって、オ
（ｃ）前問がわかれば明白。

（２）

△ＡＢＥ≡△ＤＡＦを証明したい。
正三角形の１辺からAB＝DA
誘導で求めた△ＢＣＥ≡△ＡＣＦを利用して、ＢＥ＝ＡＦ
これらの間の角である∠ＡＢＥ＝∠ＤＡＦを証明すればよい。
△ＢＣＥ≡△ＡＣＦから、∠ＥＢＣ＝∠ＦＡＣ＝∠×をすれば、
∠ＡＢＥ＝６０－×、∠ＤＡＦ＝６０－×で、∠ＡＢＥ＝∠ＤＡＦとなる。
２辺と間の角が同じとなり、２つの三角形は合同となる。

以下、模範解答の例。
～引用はじめ～
△ＡＢＥと△ＤＡＦにおいて、
仮定から、ＡＢ=ＤＡ　　・・・【６】
【】５より、　ＢＥ=ＡＦ　　・・・【７】
∠ＣＢＥ＝∠ＣＡＦ・・・【８】
また、∠ＡＢＥ＝∠ＡＢＣ－∠ＣＢＥ
＝６０°－∠ＣＢＥ　・・・【９】
∠ＤＡＦ＝∠ＤＡＣ－∠ＣＡＦ
＝６０°－∠ＣＡＦ　・・・【１０】
【８】、【９】、【１０】より、∠ＡＢＥ＝∠ＤＡＦ・・・【１１】
【６】、【７】、【８】より、２辺とその間の角がそれぞれ等しいので、
△ＡＢＥ≡△ＤＡＦ
～引用おわり～

（３）
相似やＤＦの長さに目を向けてしまいそうだが、
△ＡＣＤ内を三平方の定理でいじくれば求められる。

△ＡＣＤは１辺１０ｃｍの正三角形。
ＣＥ：ＥＤ＝３：２から、ＣＥ＝６ｃｍ、ＥＤ＝４ｃｍ
ＡからＣＤに垂線をひき、その交点をGとする。
正三角形を縦にわると、１：２：√３の直角三角形。
△ＡＧＥで三平方の定理 を使用する。
AE²＝（５√３）²＋１²＝７６
AE＞０から、AE＝√７６＝２√１９ｃｍ
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