2013年度 千葉県公立高校入試【前期】数学解説

問題はコチラ→東京新聞さん

大問1(計算)

(1)7-(-5)
=7+5=12

(2)(-4)2+3×(-2)
=16-6=10

(3)3/2x-6y-1/4(3x-8y)
=3/2x-6y-3/4x+2y ←後半の符号注意
=3/4x-4y

(4)2:5=(x-2):(x+7)
内項の積を外項の積が一緒であることから、
5(x-2)=2(x+7)
5x-10=2x+14
3x=24
x=8

(5)√45-√20+15/√5
=3√5-2√5+3√5 ←√5に統一
=4√5

(6)(x+1)(x-7)-20
=x-6x-7-20
=x-6x-27
=(x-9)(x+3)

大問2(小問集合)

(1)
文字式。問題文から、a=7b+3
これをbについて解く。
7b=a-3
b=(a-3)/7  よって、エ

(2)
BCとCDに補助線をひく。

(↑一応、 弧CD=弧DE)
図形が円に囲まれている→円周角定理
円周角の定理から、弧BCに対して∠BAC=∠BDC=24°
弧CD=弧DEから、CD=DE→△DECは二等辺三角形
∠CED=DCE=38°
△CDFより、180-(38+24)=118°

(3)
@通常の平均計算@
A~Eの身長を求める。

A=160+8=168
B=160-2=158
C=160+5=165
D=160
E=160+2=162
6人の身長の総和は、161.5×6=969
よって、969-(168+158+166+160+162)
=969-813=156cm

@仮の平均を用いる方法@
仮の平均を160とおく。
6人の身長の平均は仮の平均より、161.5-160=+1.5
身長の総和は、仮の身長で計算するときより、+1.5×6=+9になる。
Fの身長をxとおくと、
+8-2+5+0+2+x=+9
x=-4
よって、160-4=156cm

(4)
球が登場。
球の体積は、4/3πr3
4/3×3×3×3×π=36πcm3・・・円柱の体積

4×4×π=16πcm2・・・円柱の底面積
よって、円柱の高さは、36π/16π=9/4cm

(5)
@情報の整理@
白=大きいサイコロ  左周りに進む
黒=小さいサイコロ  左から☆型に進む

白(大きいサイコロの目)を基準に場合わけ。
(白、黒)=(大、小)=(1、3)(2、1)(2、6)(3、4)(4、2)(5、5)(6、3)
*2の目のときだけ2つある。
大小サイコロ全ての出目パターンは、6×6=36

したがって、7/36

(6)
恒例の作図問題。ヒネリがあって難しい。
2点A、Bから等距離=ABの垂直二等分線上に点Pがある

Aからヒョコ。

同じ長さでBからヒョコ。

この線上のどこかにPがある。

ここからが本題。
∠BPCが30°となるようなPの位置を確定したい。

30°といえば、正三角形や直角三角形を思い浮かぶが、
点Pの位置が不明なので、∠BPCを直接、描くのが難しい。

そこで、円周角の定理を使う。
中心角60度であれば、円周角はどこも30°であることを利用する。
この円周上のどこかに点Pがある。
△OBCは、OB=OCで∠BOC=60°すなわち正三角形となる。
BCを1辺とする正三角形を作図する。

BからCとの距離をとってヒョコ。

同じ長さでCからヒョコ。

目分量で書いたのでかなりいびつな正三角形に・・。
交点が円の中心になる。

半径OB,OCとなるよう、グルッと円を書く。
さきほどの垂直二等分線と交わる点がPとなる。
ただし、上の交点は陸地なので、船が通れないので×。



大問3(関数)

(1) AC=BCということは、△ABCは点Cを頂角とした二等辺三角形。
よって、Cのx座標は2。
ここから、点A、B、Cの座標をすべて求める。
A(4、4) B(0、4) C(2、1)
△ABCは底辺が4で高さが3。
4×3÷2=6cm2

(2)
この手の問題は、座標を文字に置き換える。
x座標、y座標の値がともに小さいCのx座標をaとおく。
点C(a、a/4)
点Aのx座標は点Cのx座標の2倍なので、A(2a、a

ここで、△ABCをピックアップ。

正方形を描くと、ABは正方形の対角線、ABと点Cとの距離は対角線の半分。
すると、3/4・a2×2=2a と二次方程式ができる。
3/2・a2=2a
3a2=4a
3a=4
a=4/3 ・・・Cのx座標
点Aのx座標は2aなので、8/3
よって、A(8/3、16/9)

大問4(方程式&規則)

あまり見かけないパターンの文章問題。文字式を使って、丁寧に長さを判定していく。
(1)
対角線×対角線÷2=正方形の面積

対角線BD=2xより、
y=2x×2x÷2=2x2

(2)
(1)と同様。

外の正方形-中の正方形=灰色部分

中の正方形は、{2(x-2)}2÷2=(2x-4)2÷2=2x2-8x+8
外の正方形は、(1)より、2x2
したがって、y=2x2-(2x2-8x+8)=8x-8

(3)(a)【1】は2秒周期、【2】と【3】は3秒周期、【4】は4秒周期。
2と3と4の最小公倍数12秒後まで調べる。(2<x≦3を3秒後と考えてしまう)

1秒後 2秒後 3秒後 4秒後 5秒後 6秒後 7秒後 8秒後 9秒後 10秒後 11秒後 12秒後
 【1】 × × × × × ×
 【2】 × × × × × × × ×
 【3】 × × × × × ×
 【4】 × × × × × ×

以後、12秒間で上の規則が繰り返される。
次に全てつくのは、2周期目のはじめ、つまり13秒後まで(12<x≦13)
よって、ア・・12  イ・・13

(b)101÷12=8…5
101秒は、8周期+5秒。
つまり、上の周期表の5番目が、101秒後の状況。
よって、点灯するのは【1】、【3】、【4】。



大問5(平面図形)

(1)
(a)【1】は正三角形の説明。
正三角形の1辺であり、△ACFの1辺でもあるACが答え。 よって、ア

(b)説明から∠BCA=∠ACD=∠DCF=60°
  ∠BCEに対応する角は∠ACFも120°となる。  よって、オ
(c)前問がわかれば明白。

(2)

△ABE≡△DAFを証明したい。
正三角形の1辺からAB=DA
誘導で求めた△BCE≡△ACFを利用して、BE=AF
これらの間の角である∠ABE=∠DAFを証明すればよい。
△BCE≡△ACFから、∠EBC=∠FAC=∠×をすれば、
∠ABE=60-×、∠DAF=60-×で、∠ABE=∠DAFとなる。
2辺と間の角が同じとなり、2つの三角形は合同となる。

以下、模範解答の例。
~引用はじめ~
△ABEと△DAFにおいて、
仮定から、AB=DA  ・・・【6】
【】5より、 BE=AF  ・・・【7】
∠CBE=∠CAF・・・【8】
また、∠ABE=∠ABC-∠CBE
=60°-∠CBE ・・・【9】
∠DAF=∠DAC-∠CAF
=60°-∠CAF ・・・【10】
【8】、【9】、【10】より、∠ABE=∠DAF・・・【11】
【6】、【7】、【8】より、2辺とその間の角がそれぞれ等しいので、
△ABE≡△DAF
~引用おわり~

(3)
相似やDFの長さに目を向けてしまいそうだが、
△ACD内を三平方の定理でいじくれば求められる。

△ACDは1辺10cmの正三角形。
CE:ED=3:2から、CE=6cm、ED=4cm
AからCDに垂線をひき、その交点をGとする。
正三角形を縦にわると、1:2:√3の直角三角形。
△AGEで三平方の定理 を使用する。
AE2=(5√3)2+12=76
AE>0から、AE=√76=2√19cm

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