2019年度 愛知県公立高校入試問題Aグループ【数学】解説

満点22点 平均13.1点
問題はコチラ→愛知全県模試さん
Bグループは別ページ。

大問1(小問集合)

(1)
8-(2-5)
=8-(-3)
=8+3=11

(2)
(5x+3)/3-(3x+2)/2
={2(5x+3)-2(3x+2)}/6
=1/6x

(3)
√3(√5-3)+√27
=√15-3√3+3√3
=√15

(4)
12x2y×(-3y)2÷(2xy)2
=27y

(5)
(x+3)(x-8)+4(x+5)=0
2-5x-24+4x+20
=x2-x-4=0
因数分解ができないので、解の公式を適用。
x={1±√(-1)2-4・1・(-4)}/2
=(1±√17)
/2

(6)
リボンの全体はxcm
切り取る長さは15acm
余りなしで切り取れたらx=15aとなるので、
x≧15a

(7)
x=4のとき、y=8
x=6のとき、y=18
(18-8)/(6-4)=5

*y=ax2のグラフで、p→qの変化の割合はa(p+q)
1/2(4+6)=5

(8)
全体の人数を1とおいたとき、7.4~7.8の人数は0.15。
120×0.15/1=18人

(9)
△ABE∽△CEDを利用。

BE:ED=6:4=3:2
ここから△BFE∽△BCDへ。
EF:DC=3:5
EF=4×3/5=12/5cm

大問2(小問集合2)

(1)

ア=nとおくと、イ=n+2。
n(n+2)
=n2+2n=899
2+2n-899=0
しかし、899の素因数をみつけるのが大変(´・д・`)

奇数の文字式は2n-1でも表せるので、
ア=2n-1、イ=2n+1とおき、
(2n-1)(2n+1)
=4n2-1=899
4n2=900
2=225
n>0より、n=15
ア…2×15-1=29
イ…29+2=31

@余談@
899は900に近い。
30×30=900で、アとイは連続する2つの奇数だから、
30に近い2つの奇数である〔29×31〕を計算すると899になる。
数的センスを駆使すると一発ででてしまう(; ̄Д ̄)

(2)

手順どおりに図示。
2つの正方形のそれぞれの1辺。
2つの直角から間の角EDCをひく。
→2辺と間の角が等しい→合同
ACが正方形の対角線なので、∠DAE=45°
対応する角で、∠DCG=45°となる。
Ⅰ…90
a…2辺と間の角
Ⅱ…45

(3)
1~6から2つの数字を選び、それらの積を5で割り、
余りがいくつかでA~Eが決まる。

全て調査するのが大変。
表を眺めて、なんとなく5で割り切れるところが一番多いような気がする。
1行目…1、2、3、4、0、1
2行目…2、4、1、3、0、2
3行目…3、1、3、2、0、3
4行目…4、3、2、1、0、4
5行目…0、0、0、0、0、0
6行目…1、2、3、4、0、1
試してみると、やはり5が多いが、
試さないと確証が得られないので不安になる(´゚д゚`)

余り0はAで止まるのでア。
四角で囲った数字は11個なので、11/36

(4)Ⅰ
グラフの目盛りに注意しよう!
1マスあたりx軸は10分、y軸は400円。
Xプランでは、30分を超えると1分あたり+40円。
10分では+400円。

ちょうど、右1上1で増加する。



YとZを図示し、Yが一番下にくる範囲を探す。
50分から80分までの間。


大問3(図形)

(1)
弧CDの長さから∠CODを算出。
360×2π/(5×2×π)=72°
このあとで詰まった人が多いか(`ω´)

△OACと△OBDは二等辺。
2つの二等辺を一体化させて考える。
∠COA+∠DOB=180-72=108
2つの三角形の内角の合計は360°
360-108=252…●●●●
252÷2=126…
△ABEで、180-126=54°

(2)①
中学入試っぽい(;^ω^)
補助線の引き方を知っていれば楽勝だが、初見だと厳しい。

外側に補助線を描くと3つの正三角形ができる。
六角形ABCDEFは正六角形ではないが、
内角の大きさがすべて等しいので、すべて120度となる。
外側の三角形の2つの内角が60度だから、残りの1つも60度となり、
3つの三角形は正三角形となる。
大きい正三角形の1辺は、4+2+3=9cm
左下の小さな正三角形の1辺は、9-4-4=1
CD=9-1-3=5cm



面積比で攻略。
大きな正三角形は⑨×⑨=○81
外の3つの正三角形は、
④×④=⑯、①×①=①、③×③=⑨
真ん中の六角形は、○81-⑯-①-⑨=○55

大きい正三角形の底辺は9、高さは9×√3/2
9×9×√3/2×1/2×55/81
=55√3/4cm2

(3)①
円Oの面積⇒円Oの半径がわかればいい。
円外の任意の2つの点から接点までの距離は等しい
BとDはAB、AD上で円Oが接する接点。
AB=AD=2
 
△ABCで三平方。
BC=√5
ODに補助線をひき、xとおく。
△ABCと△ODCは2角が等しいので相似
CB:BA=CD:DO
√5:2=1:x
√5x=2
x=2√5/5

円Oの面積は
(2√5/5)2π=4π/5cm2


Dから垂線をおろし、BCとの交点をEとおく。

△CDE∽△CABから、
DE=2×1/3=2/3
△DBCの回転体は、底辺の半径が2/3、高さが√5の円錐となる。
2/3×2/3×π×√5×1/3=4√5π/27

円の回転体は、半径2√5/5の球。
球の体積→3/4πr3
3/4×(2√5/5)3×π=32√5π/75

32√5π/75÷4√5π/27=25/75倍
計算処理がメンドイ(;´Д`)
最後で分母分子を逆にしないように。
基準が△DBCの回転体なので、最後の式を分数で表すとこちらが分母にくる。

愛知は初めて解いたのですが、地域によってABと問題が分かれるのね((( ;゚д゚))
問題数が少なめなのは(・∀・)イイ!!
3(2)のような中学入試にでてくる設問は、
他の公立高校入試でもガクッと正答率が下がる。
ココにいくつか問題があるので、挑戦してみてね(*’ω’*)
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note書いています(*'ω'*)
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