2019年度　愛知県公立高校過去問Ａグループ【数学】解説

平均13.1点（満点22点）
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大問１（小問集合）

（１）
８－（２－５）
＝８－（－３）
＝８＋３＝11

（２）
（５ｘ＋３）/３－（３ｘ＋２）/２
＝{２（５ｘ＋３）－２（３ｘ＋２）}/６
＝１/６ｘ

（３）
√３（√５－３）＋√27
＝√15－３√３＋３√３
＝√15

（４）
12ｘ²ｙ×（－３ｙ）²÷（２ｘｙ）²
＝27ｙ

（５）
（ｘ＋３）（ｘ－８）＋４（ｘ＋５）＝０
ｘ²－５ｘ－24＋４ｘ＋20
＝ｘ²－ｘ－４＝０
因数分解できないので、解の公式を適用。
ｘ＝{１±√（－１）²－４・１・（－４）}/２
＝（１±√17）/２

（６）
リボンの全体はｘｃｍ
切り取る長さは15ａｃｍ
余りなしで切り取れたらｘ＝15ａとなるので、
ｘ≧15ａ

（７）
ｘ＝４のとき、ｙ＝８
ｘ＝６のとき、ｙ＝18
（18－８）/（６－４）＝５

*ｙ＝ａｘ²のグラフで、ｐ→ｑの変化の割合はａ（ｐ＋ｑ）
１/２（４＋６）＝５

（８）
全体の人数を１とおいたとき、7.4～7.8の人数は0.15。
120×0.15/１＝１８人

（９）
△ＡＢＥ∽△ＣＥＤを利用。

ＢＥ：ＥＤ＝６：４＝３：２
ここから△ＢＦＥ∽△ＢＣＤへ。
ＥＦ：ＤＣ＝３：５
ＥＦ＝４×３/５＝12/５ｃｍ

大問２（小問集合２）

（１）

ア＝ｎとおくと、イ＝ｎ＋２。
ｎ（ｎ＋２）
＝ｎ²＋２ｎ＝899
ｎ²＋２ｎ－899＝０
しかし、899の素因数をみつけるのが大変。。

奇数の文字式は２ｎ－１でも表せるので、
ア＝２ｎ－１、イ＝２ｎ＋１とおき、
（２ｎ－１）（２ｎ＋１）
＝４ｎ²－１＝899
４ｎ²＝900
ｎ²＝225
ｎ＞０より、ｎ＝15
ア…２×15－１＝29
イ…29＋２＝31

＠余談＠
899は900に近い。
30×30＝900で、アとイは連続する２つの奇数だから、
30に近い２つの奇数である〔29×31〕を計算すると899になる。

（２）

手順どおりに図示。
２つの正方形のそれぞれの１辺。
２つの直角から間の角ＥＤＣをひく。
→２辺と間の角が等しい→合同
ＡＣが正方形の対角線なので、∠ＤＡＥ＝45°
対応する角で、∠ＤＣＧ＝45°となる。
Ⅰ…90
ａ…２辺と間の角
Ⅱ…45

（３）
１～６から２つの数字を選び、それらの積を５で割り、
余りがいくつかでＡ～Ｅが決まる。

全て調査するのが大変。
表を眺めて、なんとなく５で割り切れるところが一番多いような気がする。
１行目…１、２、３、４、０、1
２行目…２、４、１、３、０、２
３行目…３、１、３、２、０、３
４行目…４、３、２、１、０、４
５行目…０、０、０、０、０、０
６行目…１、２、３、４、０、１
試してみると、やはり５が多いが、
試さないと確証が得られないので不安になる(´ﾟдﾟ｀)
余り０はＡで止まるのでア。
四角で囲った数字は11個なので、11/36

（４）Ⅰ
グラフの目盛りに注意しよう！
１マスあたりｘ軸は10分、ｙ軸は400円。
Ｘプランでは、30分を超えると１分あたり＋40円。
10分では＋400円。

ちょうど、右１上１で増加する。

②

ＹとＺを図示し、Ｙが一番下にくる範囲を探す。
50分から80分までの間。

大問３（図形）

（１）
弧ＣＤの長さから∠ＣＯＤを算出。
360×２π/（５×２×π）＝72°

△ＯＡＣと△ＯＢＤは二等辺。
２つの二等辺を一体化させて考える。
∠ＣＯＡ＋∠ＤＯＢ＝180－72＝108
２つの三角形の内角の合計は360°
360－108＝252…●●●●
252÷２＝126…●●
△ＡＢＥで、180－126＝54°

（２）①
中学入試っぽい。
補助線の引き方を知っていれば楽勝だが、初見だと厳しい。

外側に補助線を描くと３つの正三角形ができる。
六角形ＡＢＣＤＥＦは正六角形ではないが、
内角の大きさがすべて等しいので、すべて120度となる。
外側の三角形の２つの内角が60度だから、残りの１つも60度となり、
３つの三角形は正三角形となる。
大きい正三角形の１辺は、４＋２＋３＝９ｃｍ
左下の小さな正三角形の１辺は、９－４－４＝１
ＣＤ＝９－１－３＝５ｃｍ

②

面積比で攻略。
大きな正三角形は⑨×⑨＝○81
外の３つの正三角形は、
④×④＝⑯、①×①＝①、③×③＝⑨
真ん中の六角形は、○81－⑯－①－⑨＝○55

大きい正三角形の底辺は９、高さは９×√３/２
９×９×√３/２×１/２×55/81
＝55√３/４ｃｍ²

（３）①
円Ｏの面積⇒円Ｏの半径がわかればいい。
円外の任意の２つの点から接点までの距離は等しい。
ＢとＤはＡＢ、ＡＤ上で円Ｏが接する接点。
ＡＢ＝ＡＤ＝２
 
△ＡＢＣで三平方。
ＢＣ＝√５
ＯＤに補助線をひき、ｘとおく。
△ＡＢＣと△ＯＤＣは２角が等しいので相似。
ＣＢ：ＢＡ＝ＣＤ：ＤＯ
√５：２＝１：ｘ
√５ｘ＝２
ｘ＝２√５/５
円Ｏの面積は、（２√５/５）²π＝４π/５ｃｍ²

②
Ｄから垂線をおろし、ＢＣとの交点をＥとおく。

△ＣＤＥ∽△ＣＡＢから、
ＤＥ＝２×１/３＝２/３
△ＤＢＣの回転体は、底辺の半径が２/３、高さが√５の円錐となる。
２/３×２/３×π×√５×１/３＝４√５π/27

円の回転体は、半径２√５/５の球。
球の体積→３/４πｒ³
３/４×（２√５/５）³×π＝32√５π/75
32√５π/75÷４√５π/27＝25/75倍
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