2025年度　京都府公立高校入試問題中期過去問【数学】解説

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大問１（小問集合）

（１）
11－（１/２－１）×（－２）²
＝11－（－１/２）×４
＝11＋２
＝13

（２）
（５ｘ－１）/６－（－ｘ＋２）/12
＝｛２（５ｘ－１）－（－ｘ＋２）｝/12
＝（10ｘ－２＋ｘ－２）/12
＝（11ｘ－４）/12

（３）
（８－√８）（１＋√８）
＝８＋８√８－√８－８
＝７√８
＝14√２

＠別解＠
（８－√８）（１＋√８）
＝√８（√８－１）（√８＋１）
＝２√２×（８－１）
＝14√２

（４）
円周…９×２×π＝18πｃｍ
扇形は円の一部。
扇形の中心角は、360×10π/18π＝200°

（５）
ｘ＝－９ｙ－３　…①
１/３ｘ＝３ｙ＋３　…②
①を②に代入、１/３（－９ｙ－３）＝３ｙ＋３
－３ｙ－１＝３ｙ＋３
６ｙ＝－４
ｙ＝－２/３
①に代入、ｘ＝－９×（－２/３）－３＝３
ｘ＝３、ｙ＝－２/３

（６）
ａｘ²－５ａｘ－24ａ　←ａでくくる
＝ａ（ｘ²－５ｘ－24）
＝ａ（ｘ＋３）（ｘ－８）

（７）

ａ＜０は上に凸のグラフ→ウ・エ
ａの絶対値が小さいほどグラフの開きは大きくなる→ウ

（８）
昇順に並べる。
【35、41、43、45、48、50、52、56、57】
四分位範囲＝第３四分位数（Q3）－第１四分位数（Q1）
９人のQ3は上位４人の真ん中→上から２番目と３番目の平均で54点
Q1は下位４人の真ん中→下から２番目と３番目の平均で42点。
54－42＝12点

大問２（数量変化）

（１）
情報をまとめる。
40Ｌの水。Ａは毎分４Ｌ、Ｂは毎分１Ｌ排水。
Ａ２分間…－８Ｌ→残り32Ｌ
Ｂ４分間…－４Ｌ→残り28Ｌ
AB４分間…－20Ｌ→残り８Ｌ

↑縦軸は１マス４Ｌ

（２）
（６、28）から考える。
28－15＝13Ｌ排水すればいい。
ABは１分間で－５Ｌ排水するから、13÷５＝２分36秒
６分後から２分36秒後の８分36秒後

大問３（確率）

（１）

割る数ｃで場合分け。
●ｃ＝２
（ａ、ｂ）＝（１、５）（４、０）（４、10）（７、５）
●ｃ＝３
（ａ、ｂ）＝（１、５）（４、５）（７、５）
計７通り。全体は３×３×２＝18通りだから確率は７/18

（２）
ここもｃで場合分けする。
●ｃ＝２
６ａ＋９ｂ＋６が２で割り切れる場合を考える。
６ａと６は偶数。ｂが偶数だと９ｂも偶数で割り切れる。
→ａは何でもいい。ｂは０か10であればＯＫ。５だとＮＧ。
●ｃ＝３
６ａ＋９ｂ＋６＝３（２ａ＋３ｂ＋２）
６ａ＋９ｂ＋６が３の倍数だから、ａとｂは何でもいい。

まとめると、ａは何でもいいのでａは考えなくてもいい。
ｃ＝２のとき、ｂ＝５だけ×。ｃ＝３のとき、ｂは何でもいい。
ｃとｂは全体で３×２＝６通り。ダメなのは（ｂ、ｃ）＝（５、２）の１通り。
適するのは５通りだから、確率は５/６

大問４（空間図形）

（１）

△ＡＢＣは二等辺三角形。
頂角Ｂから底辺ＡＣにひいた垂線の足ＤはＡＣの中点→ＤＣ＝12÷２＝６ｃｍ
△ＢＣＤは３：４：５の直角三角形だから、ＢＤ＝８ｃｍ

（２）

△ＣＯＢの面積は、10×９÷２＝45ｃｍ²
面ＥＦＧと面ＣＯＢは平行→三角錐Ａ―ＥＦＧ∽△三角錐Ａ―ＣＯＢ
ＡＥ：ＥＤ＝②：①、ＤＣ＝ＡＤ＝③
相似比は、ＡＥ：ＡＣ＝②：⑥＝１：３
底面の△ＥＦＧ：△ＣＯＢの面積比は１²：３²＝１：９なので、
△ＥＦＧの面積は、45×１/９＝５ｃｍ²

（３）

△ＥＦＧ//△ＣＯＢ→∠ＦＥＧ＝∠ＯＣＢ＝90°
底面ＡＢＣに対して△ＥＦＧ、△ＣＯＢは垂直だから、
△ＥＦＧを底面としたときの三角錐Ｂ―ＥＦＧの高さはＧＥとＢＣの距離である。

ＥからＢＣに垂線をひき、交点をＨとする。
ＥＨがＧＥとＢＣの距離（三角錐の高さ）にあたる。
直角と共通角より、２角相等で△ＢＣＤ∽△ＥＣＨ
△ＥＣＨの辺の比は３：４：５だから、ＥＨ＝８×④/⑤＝32/５ｃｍ

大問５（平面図形）

（１）

△ＡＢＥは直角二等辺。
１：１：√２より、ＢＥ＝３√２×１/√２＝３ｃｍ
ＣＥ＝７－３＝４ｃｍ

（２）

仮定より、∠ＧＣＥ＝∠ＧＣＤ＝60÷２＝30°
△ＢＣＤの内角から、∠ＤＢＣ＝30°
△ＢＥＦと△ＣＥＧは１：２：√３の直角三角形で∽。
相似比より、ＦＥ：ＧＥ＝③：④→ＦＧ＝①
ＦＧ＝３×１/√３×①/③＝√３/３ｃｍ

（３）
難しい。

Ｉの位置が知りたい。
△ＢＣＤより、ＤＣ＝７÷２＝3.5ｃｍ
ＣＩは∠ＤＣＥの二等分線だから、角の二等分線の定理よりＣＤ：ＣＥ＝ＤＩ：ＩＥ＝⑦：⑧

有名三角形の相似に着目する。
△ＢＥＦ∽△ＣＥＧ∽△ＣＤＨで、斜辺の比はＦＢ：ＧＣ：ＨＣ＝⑥：⑧：⑦
ＧＨ＝①
ＨＤ＝⑦÷２＝〇3.5

△ＧＦＨは内角が60°→正三角形→ＦＨ＝①
ＨＥに補助線。
△ＢＥＦの面積は、３×√３÷２＝３√３/２ｃｍ²
△ＢＥＦ：△ＨＥＦ：△ＤＥＨ＝ＢＦ：ＦＨ：ＨＤ＝⑥：①：〇3.5
△ＨＥＩ：△ＨＤＩ＝ＥＩ：ＩＤ＝⑧：⑦
四角形ＥＩＨＦ＝△ＨＥＦ＋△ＨＩＥ
＝３√３/２×①/⑥＋３√３/２×〇3.5/⑥×⑧/⑮
＝√３/４＋７√３/15
＝43√３/60ｃｍ²

大問６（規則）

（１）

４等分する。
１番目…Ａ１枚（計１枚）
２番目…Ａ１枚、Ｂ３枚（計４枚）
３番目…Ａ１枚、Ｂ３枚、Ａ５枚（計９枚）
４番目…Ａ１枚、Ｂ３枚、Ａ５枚、Ｂ７枚（計16枚）
ＡとＢは交互に奇数で、合計は平方数で増えていく。

５番目のＡは、（１＋５＋９）×４＝60枚
６番目のＢは、（３＋７＋11）×４＝84枚
タイルＡ…60枚、タイルＢ…84枚

（２）
４等分したＡＢの合計は平方数で増える。
3600÷４＝900枚＝30×30→30番目
ｎ＝30

30番目の奇数＝30番目の偶数－１＝２×30－１＝59
30番目はＢの59枚、29番目はＡの57枚。
Ａの数列【１、５、９、11…57】（15個）
等差数列の和の公式から30番目のＡの合計は、（１＋57）×15÷２×４＝1740枚