2020年度　市川高校過去問【数学】大問２解説

問題ＰＤＦ
４で割って１余る素数は、必ず自然数の平方数の和で表すことができることが分かっている。
例えば、13＝２²＋３²である。このとき、次の問いに答えよ。
（１）
2020を素因数分解せよ。

（２）
（ａｃ＋ｂｄ）²＋（ａｄ－ｂｃ）²を因数分解せよ。

（３）
2020を２つの自然数の平方数の和で２通り表せ。

（２）
（ａｃ+ｂｄ）²＋（ａｄ－ｂｃ）²
＝ａ²ｃ²＋２ａｂｃｄ＋ｂ²ｄ²＋ａ²ｄ²－２ａｂｃｄ＋ｂ²ｃ²
＝ａ²ｃ²＋ｂ²ｄ²＋ａ²ｄ²＋ｂ²ｃ²
＝ａ²（ｃ²＋ｄ²）＋ｂ²（ｃ²＋ｄ²）
＝（ａ²＋ｂ²）（ｃ²＋ｄ²）

（３）
ここからが本番です。
2020を２つの自然数の平方数の和で示す。
求めたい形は、（自然数）²＋（自然数）²
（２）より、（ａｃ+ｂｄ）²＋（ａｄ－ｂｃ）²の形は、
（ａ²＋ｂ²）（ｃ²＋ｄ²）と２数の積から生み出すことができる。
→2020を（ａ²＋ｂ²）（ｃ²＋ｄ²）の形に変形する。

（１）より、2020＝２²×５×101
おのおのの素因数を（ａ²＋ｂ²）の形に直す。
２²はそれ自体が平方数。
０を用いて、２²＝０²＋２²
問題文から『４で割って１余る素数は、必ず自然数の平方数の和で表すことができる』
５と101は４で割って１余る素数である。
５＝１²＋２²
101＝１²＋10²

まとめると。。
２²＝０²＋２²
５＝１²＋２²
101＝１²＋10²

2020＝（２²×５）×101と、２²と５を１つの数に組み合わせてみる。
（２）の式【（ａ²＋ｂ²）（ｃ²＋ｄ²）＝（ａｃ+ｂｄ）²＋（ａｄ－ｂｃ）²】
２²×５
＝（０²＋２²）×（１²＋２²）　←ａ＝０、ｂ＝２、ｃ＝１、ｄ＝２
＝（０×１＋２×２）²＋（０×２－２×１）²
＝４²＋（－２）²

（－２）²は２²と同じなので、わかりやすいように４²＋２²に変換。
これに101をかければ積が2020になる。
2020＝（４²＋２²）×101
＝（４²＋２²）×（１²＋10²）　←ａ＝４、ｂ＝２、ｃ＝１、ｄ＝10
＝（４×１＋２×10）²＋（４×10－２×１）²
＝24²＋38²

もう１つは、３行前の式の１²と10²を逆にしてみる。
（足し算は項を逆にしても、交換法則で和が等しい）
（４²＋２²）×（10²＋１²）
＝（４×10＋２×１）²＋（４×１－２×10）²
＝42²＋（－16）²

－16は自然数ではないが、（－16）²＝16²なので、
もう１つの答えは、16²＋42²となる。
【解答例】16²＋42²、24²＋38²

＠余談＠
２²×５＝４²＋２²を公式に代入せず、
和が20となる２つの平方数の組み合わせを探したほうが早い。

＠余談２＠
他にも求め方は複数ある。
２^２×（５×101）でまとめると、
５×101
＝（１²＋２²）×（１²＋10²）
＝（１×１＋２×10）²＋（１×10－２×１）²
＝21²＋８²

２²×（21²＋８²）
＝（０²＋２²）×（21²＋８²）
＝（０×21＋２×８）²＋（０×８－２×21）²
＝16²＋（－42）²
→16²＋42²

５×（２²×101）でまとめたり、これらの順番を変えても同様。
２乗をすると負の数が正の数に変わるので正確に書くと、
２²＝０²＋（±２）²
５＝（±１）²＋（±２）²
101＝（±１）²＋（±10）²
ａｂｃｄは負の数を入れてもＯＫ。

◆◆◆
元ネタを調べてみました。
問題文の『４で割って１余る素数は、必ず自然数の平方数の和で表すことができる』は、
フェルマーの二平方定理という。
５＝１²＋２²
13＝２²＋３²
17＝１²＋４²
29＝２²＋５²…

（ａ²＋ｂ²）（ｃ²＋ｄ²）＝（ａｃ＋ｂｄ）²＋（ａｄ－ｂｃ）²
↑これはブラーマグプタの恒等式というらしい。
国私立高校入試解説ページに戻る