2025年度　都立青山高校過去問【数学】大問４解説

問題ＰＤＦ
下の図１に示した立体ＡＢＣＤ―ＥＦＧＨは、ＡＢ＝４ｃｍ、
ＡＤ＝８ｃｍ、ＡＥ＝６ｃｍの直方体である。
点Ｐは辺ＥＨ上にある点、点Ｑは辺ＦＧ上にある点である。
頂点Ａと頂点Ｃ、頂点Ａと点Ｐ、頂点Ａと点Ｑ、
頂点Ｃと点Ｐ、頂点Ｃと点Ｑ、点Ｐと点Ｑをそれぞれ結ぶ。
次の各問に答えよ。

〔問１〕
点Ｐが頂点Ｈに一致し、点Ｑが頂点Ｆに一致するとき、
立体Ａ―ＣＰＱの体積は何ｃｍ³か。

〔問２〕
下の図２は、図１において、ＦＱ＝ＨＰ＝３ｃｍの場合を表している。

『図２において、立体Ａ―ＣＰＱの体積は何ｃｍ³か。』

という問題について、ヤマさんとアオさんが次のような会話をしている。
会話文を読んで、【ヤマさんが書いた解答】の①と②に当てはまる数を答えよ。
また、③には答えを求める過程が分かるように、
途中の式や計算などを書き、解答を完成させよ。

ヤマさん：面ＥＦＧＨに垂直で線分ＰＱを通る平面を考えてみよう。
　　　　　この平面と線分ＡＣとの交点をＴとして図をかいてみたよ。
アオさん：【ヤマさんがかいた図】を、面ＡＢＣＤから見た図にしてかいてみたよ。
　　　　　頂点Ａと頂点Ｅ、頂点Ｂと頂点Ｆ、頂点Ｃと頂点Ｇ、頂点Ｄと頂点Ｈは
　　　　　それぞれ重なっているから、それぞれＩ、Ｊ、Ｋ、Ｌと表したよ。
　　　　　それから、点Ｐと点Ｑはそれぞれ点Ｒ、点Ｓで表したよ。
　　　　　線分ＩＫと線分ＲＳが垂直に交わっていることは、次のように証明できるね。

ヤマさん：このことを利用すれば、立体Ａ―ＣＰＱの体積を求めることができそうだよ。
　　　　　立体Ａ―ＰＱＴと立体Ｃ―ＰＱＴの体積を考えればいいね。解答を書いてみたよ。

アオさん：今回は線分ＩＫと線分ＲＳが垂直に交わっているから、
　　　　　この方法で求めることができたね。
ヤマさん：そうでなければ、何か別の解法を考えないといけないよね。
アオさん：２点Ｂ、Ｃを通る直線上に、四角形ＡＰ’ＱＰが平行四辺形と
　　　　　なるような点Ｐ’を考えるとできそうだね。

〔問３〕
下の図３は、図１において、ＦＱ＝ＨＰ＝２ｃｍの場合を表している。
立体Ａ―ＣＰＱの体積は何ｃｍ³か。

＠解説＠
〔問１〕

直方体から３つの三角錐をひいてもいいが、
ＡＣの中点をＯとすると、面ＯＰＱ//ＡＥ//ＣＧから、
三角錐Ａ―ＯＰＱ⇒三角錐Ｅ―ＯＰＱ、三角錐Ｃ―ＯＰＱ⇒三角錐Ｇ―ＯＰＱ
と等積変形すると、立体Ａ―ＣＰＱは正四角錐Ｏ―ＥＱＧＰに変形できる。
４×８×６÷３＝64ｃｍ³

〔問２〕
先にアオの証明を軽くおさらいします。

ＳＵ＝２ｃｍ、ＲＵ＝４ｃｍ
ＲＵ：ＵＳ＝ＩＬ：ＬＫ＝２：１
２辺の比が等しければ、三平方で斜辺の比も等しい。
→３辺の比が等しいから、△ＲＳＵ∽△ＩＫＬ
（２辺の比とあいだの角でも良い）
対応する角で、∠ＲＳＵ＝∠ＩＫＬ
また、錯角で∠ＲＳＵ＝∠ＩＲＴ
∠Ｉの共通角と●で２角相等→△ＩＫＬ∽△ＩＲＴ
∠ＩＴＲ＝∠ＩＬＫ＝90°だから、ＩＫ⊥ＲＳ
＠＠

もしくは、ＩＳ、ＲＫに補助線をひくと、
△ＩＳＪと△ＫＲＬは３：４：５の直角三角形だから、ＩＳ＝ＫＲ＝５ｃｍ
四角形ＩＳＫＲは１辺５ｃｍの菱形なので、対角線は直交する→ＩＫ⊥ＲＳ
＠＠
①
△ＲＳＵで三平方→ＲＳ（ＰＱ）＝２√５ｃｍ

②
△ＰＱＴは底面ＥＦＧＨに対して垂直だから、その高さは直方体と同じ６ｃｍ

③

△ＡＣＤで三平方→ＡＣ＝４√５ｃｍ
立体Ａ―ＣＰＱは底面が△ＰＱＴ、高さの合計がＡＣの三角錐とみなせるので、
２√５×６÷２×４√５÷３＝40ｃｍ³
＠＠
公式解答を貼っておきます。

〔問３〕
最後のアオのセリフにヒントがある。

ＣＢを延長、Ａを通るＰＱと平行な直線との交点をＰ’とする。
Ｐ→Ｑが左に４ズレるので、Ａ→Ｐ’も左に４ズレる。Ｐ’Ｂ＝４
立体Ａ―ＣＰＱを三角錐Ｃ―ＡＰＱで捉える。
四角形ＡＰ’ＱＰは平行四辺形だから、対角線ＡＱで区切ると△ＡＰＱ≡△ＡＰ’Ｑ
三角錐Ｃ―ＡＰＱ＝三角錐Ｃ―ＡＰ’Ｑ
三角錐Ｃ―ＡＰ’Ｑを三角錐Ｑ―ＡＰ’Ｃで捉えると、
体積は、12×４÷２×６÷３＝48ｃｍ^３