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2021年度 岡山朝日高校過去問【数学】大問5解説

問題PDF
下の図のように、周の長さが20である平行四辺形ABCDがあり、AC=BC=6である。
Bから直線ACにひいた垂線と直線ACとの交点をHとし、直線BH上にBとは異なる点Eを、
AB=AEを満たすようにとる。


ABの長さを求めなさい


△ABC≡△AECであることを証明しなさい。


AHとDEの長さをそれぞれ求めなさい。


3点A、E、Dを通る半径を求めなさい。


@解説@
① 正答率97.6%
BC=6
平行四辺形の対辺は等しいから、
AB=(20-6×2)÷2=4

② 正答率45.6%(部分点50.9%)
△ABC≡△AECの証明。

AB=AE=4 …①
共通辺AC …②
2辺のあいだの角である∠BAC=∠EACを指摘したい。
そこで、二等辺ABEAH⊥BEに着目する

△ABHと△AEHにおいて、∠AHB=∠AHE=90°
共通辺AH、AB=AEより、斜辺と他の1辺が等しい直角三角形。
△ABH≡△AEH
対応する角が等しく、∠BAC=∠EAC…③
①、②、③より、2辺とあいだの角度が等しく、△ABC≡△AEC

③ 正答率50.7%、14.2%!

AH=xとおくと、HC=6-x
左右の直角三角形で三平方の方程式。
2-x2=62-(6-x)2
16-x2=36-36+12x-x2
x=4/3
AH=4/3

このあとからキツくなってくる:;(∩´_`∩);:

二等辺三角形と合同から等角に印をつける。
さらに、AB//DCより、錯角で∠ACD=
平行四辺形の対角より、∠ADC=

ここでA・C・D・Eに注目する。
直線ACについて同じ側にある2点D、Eについて、
∠ADC=∠AECが成り立ち、4点A・C・D・Eは同一円周上にある。(円周角定理の逆

AE=CD→弧AE=弧CD
円周角定理より、∠ADE=∠CAD(×
錯角が等しいので、AC//EDとなる。
∠EAC=∠DCAとあわせると、四角形ACDEは等脚台形である。

等脚台形は左右対称。
DE=6-4/3×2
10/3

④ 正答率2.4%!!
この手の問題は、直径に対する円周角が直角であることから、
①直角を探す⇒②直径の中点が円の中心という流れが典型だが、
本問では直径とおぼしき線分が見当たらない…。

3点A・E・Dを通る円⇒等脚台形ACDEが接する円⇒△ACEが接する円
作図問題にもでてくるように
外接円の中心は各辺の垂直二等分線の交点である。
ACの中点をP、AEの中点をQとし、これらを通る2本の垂線の交点が中心Oとなる。

また、△ACEは二等辺三角形だから、底辺AEの垂直二等分線CQはOを通る
△ACQで三平方→CQ=4√2

2角相等で△CAQ∽△COP
半径OC=6×3/4√2=9√2/4
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