2025年度　須磨学園高校過去問【数学】大問２解説

問題ＰＤＦ
袋の中に、１と番号のつけられた玉が１個、２と番号のつけられた玉が１個、
３と番号のつけられた玉が１個の計３個の玉が入っている。
この袋から玉を１個取り出し、玉の番号を確認してから元に戻すことを４回繰り返す。
１回目、２回目、３回目、４回目に取り出された玉の番号をそれぞれａ、ｂ、ｃ、ｄとし、
ｘｙ平面上の４点Ａ、Ｂ、Ｃ、ＤをＡ（０、ａ），Ｂ（－ｂ、０），Ｃ（０、－ｃ）， 
Ｄ（ｄ、０）と定める。
また、四角形ＡＢＣＤの面積をＳとする。以下の問いに答えなさい。

（１）
ａ、ｂ、ｃ、ｄの値の組み合わせは全部で何通りあるか求めなさい。

（２）
Ｓの最大値と最小値をそれぞれ求めなさい。　

（３）
ａ＝２、ｃ＝２としたとき、Ｓ＝６となるｂ、ｄの値の組み合わせは
全部で何通りあるか求めなさい。

（４）
Ｓ＝６となる確率を求めなさい。

（５）
さらに点Ｅ（１、３ａ）を定め、四角形ＥＢＣＤの面積をＴとする。
Ｓ＋Ｔ＝15となる確率を求めなさい。

＠解説＠
（１）

ａ～ｄはそれぞれ１～３だから、３^４＝81通り

（２）

正方形（菱形）の面積＝対角線×対角線÷２
最大値：６×６÷２＝18
最小値：２×２÷２＝２
最大値…18、最小値…２

（３）
対角線の縦ａｃ＝４
対角線の横ｂｄ＝６×２÷４＝３

ｂとｄの距離が３になればいい。
原点Ｏは含まれないので、２通り

（４）
縦ａｃ×横ｂｄ＝６×２＝12になればいい。
●１×12
対角線の長さは最小２、最大６だから無い。
●２×６

最小値２と最大値６の組み合わせ。
距離２は１通り、距離６は１通り。
縦長と横長があるから、１×１×２＝２通り
●３×４

横ｂｄ＝３は２通り、縦ａｃ＝４は３通り
縦長と横長があるから、２×３×２＝12通り
計14通り
確率は14/81

（５）

Ｅ（１、３ａ）だが、△ＥＢＤを等積変形して（０、３ａ）に移して考える。
ＳとＴの横…ｂ＋ｄで一定。
Ｓ＋Ｔの縦…（ａ＋ｃ）＋（３ａ＋ｃ）＝４ａ＋２ｃ
つまり、Ｓ＋Ｔは横ｂ＋ｄ、縦４ａ＋２ｃの四角形である。
横×縦÷２＝15
横×縦＝30になればいい。
（ｂ＋ｄ）×（４ａ＋２ｃ）＝30

２≦ｂ＋ｄ≦６
６≦４ａ＋２ｃ≦18
ｂ＋ｄ（横）≦４ａ＋２ｃ（縦）
●１×30
ｂ＋ｄは２以上、４ａ＋２ｃは18以下だから無い。
●２×15
４ａ＋２ｃ＝２（２ａ＋ｃ）は偶数なので、奇数15になれない。
●３×10
ｂ＋ｄ＝３…距離３は（－２、１）（－１、２）の２通り
２（２ａ＋ｃ）＝10
２ａ＋ｃ＝５
（ａ、ｃ）＝（１、３）（２、１）の２通り
２×２＝４通り
●５×６
ｂ＋ｄ＝５…距離５は（－３、２）（－２、３）の２通り
２（２ａ＋ｃ）＝６
２ａ＋ｃ＝３
（ａ、ｃ）＝（１、１）の１通り
２×１＝２通り
計６通り
確率は６/81＝２/27