2020年度 慶應義塾女子高校過去問【数学】大問3解説

図のように点Tで直線TEに接する円がある。

4点A、B、C、Dは円周上の点で、∠ATDは弦BT、CTにより3等分されている。
線分ACとBTの交点をFとし、AF=2、∠TAB=75°、∠TCD=45°として、
次の問いに答えなさい。
(1)
∠DTE、∠ATDの大きさを求めなさい。

(2)
AT:CTを求めなさい。

(3)
FCの長さを求めなさい。

(4)
円の半径rの長さを求めなさい。


@解説@
(1)

↑使うべき情報だけを記入。
弧DTに対する円周角で∠DAT=45°
接弦定理より、∠DTE=45°

なんとなくATが円の直径に見えるが
(;^ω^)
同様に弦BTで接弦定理→∠BTE=75°
∠BTD(●●)=75-45=30°
∠ATD(●●●)=30×3/2=45°

(2)

AT:CTを求めたいので、それらを1辺とする△ACTに着目。
∠ATC(●●)=30°

前問で∠DTE=∠ATD=45°と求めたので、∠ATE=90°となり、
ATは接線TEに対して垂直→ATは円の直径
直径に対する円周角で、∠ACT=90°

△ACTの内角は30°-60°-90°で、辺の比が1:2:√3の直角三角形。
AT:CT=2:√3

(3)
長さを求めるので、AF=2をここで利用する。

ズバリ、角の二等分線の定理。
TA:TC=AF:FC=2:√3
FC=2×√3/2=√3

(4)
AC=2+√3
△ACTの辺の比でAC:AT=1:2から、
ACを2倍して直径AT、それを÷2して半径rがでる。
r=(2+√3)×2÷2=2+√3
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