2020年度　慶應義塾女子高校過去問【数学】大問３解説

問題ＰＤＦ
図のように点Ｔで直線ＴＥに接する円がある。

４点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄは円周上の点で、∠ＡＴＤは弦ＢＴ、ＣＴにより３等分されている。
線分ＡＣとＢＴの交点をＦとし、ＡＦ＝２、∠ＴＡＢ＝75°、∠ＴＣＤ＝45°として、
次の問いに答えなさい。
（１）
∠ＤＴＥ、∠ＡＴＤの大きさを求めなさい。

（２）
ＡＴ：ＣＴを求めなさい。

（３）
ＦＣの長さを求めなさい。

（４）
円の半径ｒの長さを求めなさい。

＠解説＠
（１）

↑使うべき情報だけを記入。
弧ＤＴに対する円周角で∠ＤＡＴ＝45°
接弦定理より、∠ＤＴＥ＝45°

なんとなくＡＴが円の直径に見えるが

（２）

ＡＴ：ＣＴを求めたいので、それらを１辺とする△ＡＣＴに着目。
∠ＡＴＣ（●●）＝30°

前問で∠ＤＴＥ＝∠ＡＴＤ＝45°と求めたので、∠ＡＴＥ＝90°となり、
ＡＴは接線ＴＥに対して垂直→ＡＴは円の直径！
直径に対する円周角で、∠ＡＣＴ＝90°

△ＡＣＴの内角は30°－60°－90°で、辺の比が１：２：√３の直角三角形。
ＡＴ：ＣＴ＝２：√３

（３）
長さを求めるので、ＡＦ＝２をここで利用する。

ズバリ、角の二等分線の定理。
ＴＡ：ＴＣ＝ＡＦ：ＦＣ＝２：√３
ＦＣ＝２×√３/２＝√３

（４）
ＡＣ＝２＋√３
△ＡＣＴの辺の比でＡＣ：ＡＴ＝１：２から、
ＡＣを２倍して直径ＡＴ、それを÷２して半径ｒがでる。
ｒ＝（２＋√３）×２÷２＝２＋√３
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