2025年度　堀川高校（探求学科群）過去問【数学】大問３解説

問題ＰＤＦ
ａは正の定数とする。下図で、点Ｏは原点、曲線Ｃは関数ｙ=√３/ａｘ²のグラフを表しており、
直線ｌは関数ｙ＝√３ｘ＋３√３ａのグラフを表している。
また、曲線Ｃと直線ｌの２つの交点のうち、ｘ座標が小さい方を点Ｐ、大きい方を点Ｑとする。
このとき、次の問いに答えなさい。

（１）
直線ｌとｙ＝－√３/３ｘのグラフとの交点をＨとする。
ＯＨの長さをａを用いて表しなさい。

（２）
ＰＱを１つの辺とし、もう１点が曲線Ｃ上にある三角形を考える。
△ＯＰＱと面積が等しくなるような曲線Ｃ上の点はＯ以外に３点あり、
その点をＲ_１、Ｒ_２、Ｒ_３とする。△Ｒ_１Ｒ_２Ｒ_３の面積をａを用いて表しなさい。

＠解説＠
（１）

√３×（－√３/３）＝－１
傾きの積が－１だから、直線ｌ⊥ＯＨ

直線ｌとｙ軸、ｘ軸との交点をＡ、Ｂとする。
２角相等で△ＡＯＢ∽△ＡＨＯ
直線ｌの傾きは√３→ＢＯ：ＡＯ＝１：√３→△ＡＯＢの辺の比は１：２：√３
ＡＯ：ＯＨ＝２：１だから、ＯＨ＝３√３ａ÷２＝３√３/２ａ

（２）

△ＯＰＱと面積が等しくなる放物線上の３点を求める。
Ｏを通るＰＱに平行な線と放物線の交点をＲ_１とすると、
等積変形で△ＯＰＱ＝△Ｒ₁ＰＱ
ｙ軸上の切片３√３ａから、ＰＱの上側に等積となる三角形をつくる。
（０、６√３ａ）を通るＰＱに平行な線と放物線との交点をＲ₂、Ｒ₃とすると、
△ＯＰＱ＝△Ｒ₂ＰＱ＝△Ｒ₃ＰＱ

△Ｒ₁Ｒ₂Ｒ₃の面積を求める。

等積変形より、△Ｒ₁Ｒ₂Ｒ₃＝△ＯＲ₂Ｒ₃
Ｒ₂とＲ₃はｙ＝√３/ａｘ²とｙ＝√３ｘ＋６√３ａの交点だから、
√３/ａｘ²＝√３ｘ＋６√３ａ　←÷√３×ａ
ｘ²＝ａｘ＋６ａ²
ｘ²－ａｘ－６ａ²
＝（ｘ＋２ａ）（ｘ－３ａ）＝０
ｘ＝－２ａ、３ａ
（*Ｒ₂のｘ座標が－２ａ、Ｒ₃のｘ座標が３ａ）
△ＯＲ₂Ｒ₃は幅５ａ、高さ６√３ａだから、
面積は５ａ×６√３ａ÷２＝15√３ａ²