問題ＰＤＦ
一辺が10ｃｍの立方体の消しゴムがあります。図１のように、消しゴムの各辺に沿って、上下方向、左右方向、前後方向とよぶことにします。また消しゴムは変形しても直方体とみなせるものとします。
問１
図２のように左右方向に対して垂直な面を、ある大きさＦのカで両側から押すと、消しゴムは左右方向に縮み、左右方向の長さは9.99ｃｍになりました。カの大きさを変え、両側から押すと、消しゴムは左右方向にもとの10ｃｍから0.002ｃｍ縮みました。このとき両側から押した力の大きさはＦの何倍ですか。押した力と消しゴムの縮み（縮んだ距離）の間には比例関係が成り立つものとします。
問２
今度は先ほどと同じ消しゴムを２個用意し、図３のように左右方向にくっつけて、問１の大きさＦのカで両側から押しました。このとき左右方向の消しゴムの全長 （長さの和）は何ｃｍですか。
消しゴムが両側から押されたとき、その方向の長さの変化がわかれば消しゴムの体積変化を簡単に計算できそうに思えます。しかし左右方向に両側から押された場合、消しゴムは直方体の形に変形し、上下方向および前後方向の消しゴムの長さも変化するので、計算はそれほど簡単ではありません。
問３
図２のように消しゴムが左右方向に両側から押されたとき、消しゴムの①上下方向および②前後方向の長さはそれぞれどうなりますか。伸びる場合はＡ、縮む場合はＢとそれぞれ答えなさい。
図２のように１個の消しゴムが左右方向に両側から押されたとき（上下方向の伸びまたは縮み）÷（左右方向の縮み）の値をａとします。このとき、（前後方向の伸びまたは縮み）÷（左右方向の縮み）の値もａとなります。ａの値は、消しゴムの素材によって異なります。
問４
問１の消しゴム１個ではａ＝0.48でした。このとき問１の大きさＦのカでその消しゴム１個を両側から押すと、消しゴムの体積は何ｃｍ3減りますか。小数第２位まで答えなさい。ただし、ｘとｙがともに１に比べてとても小さな数のとき （１－ｘ）×（１＋ｙ）×（１＋ｙ）を１－ｘ＋２×ｙのように計算してかまいません。これを近似計算と呼びます。近似計算では例えば、
（１－0.0003）×（１＋0.001）×（１＋0.001）＝1.0017003997を１－0.0003＋２×0.001＝1.0017
としてよいことになります。
問５
どんな立方体の消しゴムも、両側から押されたとき、体積は必ず減少することが知られています。このことから、ａの値はある値以上になりえないことがわかります。ある値を答えなさい。必要であれば問４の近似計算を使って かまいません。
＠解説＠
問１：0.2倍
【押した力】と【縮んだ距離】は比例関係。
１Ｆ→0.01ｃｍ縮んだ。
0.002ｃｍ縮ませるには、１×0.002/0.01＝0.2Ｆ
Ｆの0.2倍。
問２：19.98ｃｍ
①左側面がＦで押される。
②右が左をＦで押す。③左が右をＦで押す。（②と③は作用・反作用）
左右で0.01ｃｍずつ縮むから、20－0.01×２＝19.98ｃｍ
問３：①Ａ②Ａ
本問は変形しても直方体とみなすが、もし指で左右を押したら上図のような感じで膨らむ。
左右が押されてもゴムの分子量は変わらないので密度が高まり、
上下方向や前後方向に少し押し出される。
問４：0.04ｃｍ3
式に当てはめると、前後/上下の伸びは、0.01×48/100＝0.0048ｃｍ
直方体とみなすので、消しゴムの体積は（10－0.01）×（10＋0.0048）×（10＋0.0048）
【近似計算】
（１－ｘ）×（１＋ｙ）×（１＋ｙ）＝１－ｘ＋２×ｙ
ｘ＝0.01、ｙ＝0.0048と代入したいが、問題は（10－〇）ではなく（１－〇）の公式であること！
１辺を10ｃｍ→１ｃｍあたり（体積１ｃｍ3）に変えると、ｘ＝0.001、ｙ＝0.00048になる。
（１－0.001）×（１＋0.00048）×（１＋0.00048）
≒１－0.001＋２×0.00048
＝１－0.00004→１ｃｍ3から0.00004ｃｍ3少ない体積。
実際の変形前の消しゴムは、10×10×10＝1000ｃｍ3だから、
体積の減少分は、0.00004×1000＝0.04ｃｍ3
問５：0.5
近似計算において、－ｘが減少分で＋２ｙが増加分である。
ｘ＝２ｙ→ｘ：ｙ＝２：１のときに体積が変わらない。
ａ＝ｙ÷ｘ＝１/２＝0.5
体積は必ず減少するので、ａは0.5以上になりえない。
＠余談＠
数学になりますが、
（１－ｘ）（１＋ｙ）（１＋ｙ）
＝（１－ｘ）（ｙ2＋２ｙ＋１）
＝ｙ2＋２ｙ＋１－ｘｙ2－２ｘｙ－ｘ
ｘとｙがとても小さな数で、小さな数に小さな数をかけた数はさらに小さな数になるから、
近似計算では定数項の１、１次の＋２ｙ－ｘを抜き出して、１－ｘ＋２ｙになるのだと思います。
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