2019年度 洛南高等学校附属中学過去問【算数】大問4解説

図のような、円周を15等分した点に0から14までの目盛りをつけた時計があります。
この時計の長針と短針はそれぞれ右回りに一定の速さで回転し、次の①~③のように動きます。

①長針は短針より速く動きます。
②2つの針が0で重なったあと、次に重なるのは短針が1周目の9を指すときです。
③2つの針が0で重なってから再び0で重なるのは12時間後です。
2つの針が0で重なってから再び0で重なるまでについて、次の問いに答えなさい。

(1)
長針と短針は、それぞれ何周しますか。

(2)
長針と短針は、それぞれ1分間に何度回転しますか。

(3)
重なる場合を除いて、長針と短針が同時に目盛りを指すことは、何回ありますか。

(4)
次の( ア 
)、( イ )にあてはまる数を答えなさい。
ただし、( ア )には0以上60未満の数が入ります。

0で重なってから6時間( ア )分後、長針と短針が同時に目盛りを指します。
そのとき、長針は( イ )の目盛りを指しています。


@解説@
(1)
長針と短針は0からスタートし、短針が1周目の9を指したときに2つが重なった。
長針は短針を周回遅れにする。
長針は15+9=24目盛り、短針は9目盛り動いた。
速さの比は、長針:短針=24:9=8:3

短針が9進むたびに、長針と短針は重なる
2つが重なる場所を調べる。
1周目9⇒2周目3⇒2周目12⇒3周目6⇒0
短針はちょうど3周したときに長針と重なり、これが12時間後にあたる。
速さの比から長針は、3周×8/3=8周した。
長針…8周、短針…3周

(2)
1分あたりに進む角度を求める。
■長針■
12時間で8周する。
1時間では、8÷12=2/3周
1分間では、360°×2/3周÷60=4°

■短針■
12時間で3周する。
1時間では、3/12=1/4周
1分間では、360°×1/4周÷60=3/2°

長針…4°、短針…3/2°

(3)
1目盛り分の角度は、360÷15=24°
長針は1分あたり4°だから、24÷4=6分ごとに目盛りを指す。
短針は1分あたり3/2°だから、24÷3/2=16分ごとに目盛りを指す。
6と16の最小公倍数⇒48
48分ごとに長針と短針が同時に目盛りを指す

12時間のうち、同時に目盛りを指すのは、
12×60÷48=15回

一方で、(1)で【1周目9⇒2周目3⇒2周目12⇒3周目6⇒0】と、
長針と短針は同じ目盛りに5回重なったから、15-5=10回

(4)
6時間=300分
48分ごとに長針と短針が同時に目盛りを指すので、6時間後までには、
300分÷48分=7…24
⇒6時間後に7回重なって、24分余る。
次に重なるのは、48-24=24分後
ア…24

6時24分=384分
長針は6分ごとに目盛りを指すから、384÷6=64回指した。
1周は15目盛りなので、64÷15=4…4
⇒4周して、4を指す。
イ…4
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