2019年度 長野県公立高校過去問【数学】解説

平均53.6点

問題はコチラ→PDFファイル

大問1(小問集合)

(1)①
2-4=-2


2/3×(-6)2
=2/3×36=24


(√3+4)(√3-1)
=3-√3+4√3-4
=-1+3√3

(2)
-2<-0.05<1/1000(0.001)<3

(3)
2つ選ぶこと!
3辺の長さ。2辺とあいだの角。
ア・ウ

(4)

孤ADに対する円周角から、∠ABD=∠ACD
直径に対する円周角ADCは90°。
x=180-(90+68)=22°

(5)
2x2-2x=1-5x
2x2+3x-1=0
因数分解ができないので、解の公式を適用。
x={-3±√32-4・2・(-1)}/4
=(-3±√17)/4

(6)
先に式を整理する。
5x-y-2(xー3y)
=3x+5y  ←ここから代入
=3×(-1/3)+5×3/5
=-1+3=2

(7)
03、12、21、24、30、42 (33は×!3は1枚しかない
全体は、5×4=20通り
6/20=3/10

(8)
反比例の比例定数a=xy
xとyの積はa(-4)で一定⇒ウ

(9)
70個うち、白:オレンジ=65:5=13:1
この割合は母集団も変わらないと推測。
200×13/1=2600個

(10)
三平方の定理が成り立てば、直角三角形となる。
斜辺であるcが最も長いので、a2+b2=c2が成り立つかを調べればよい。

大問2(小問集合2)

(1)①
120人の中央値(メジアン)は、60番目と61番目の平均値。
いずれも5個のところにある。


お客さんが最も買い求める個数は、最頻値の4個であるから。
*4個入りが最も買われている。


方程式の記述問題。
一次方程式であれば、2個買った人をx、3個買った人を28-xにして、
300x+450(28-x)=10950

連立であれば、2個買った人をx、3個買った人をyとおいて、
x+y=28…①
300
x+450y=10950…②

これを解いて、x=11、y=17
2個買った人…11人、3個買った人…17人

(2)①
折り鶴の展開図が登場(*’ω’*)

対称の軸を境に左右対称となる。
対象の軸はBD⇒イ
90°回転だと、角が8等分されるマスが左下と右上にきてしまう。
点対称の図形である。⇒エ
イ・エ


作図問題だが、単なる角の2等分線・・。
点Cを示す必要がなく、Aから伸ばせばいい。
①Aから適当に弧を描く。
②ABとの交点に針を合わせてシュッ。ADとの交点も同様。
③先の交点を通るようにAから半直線をひく。

(3)
振り子の周期はおもりの重さや振れ幅ではなく、振り子の長さに依存する。
これを、振り子の等時性といいます。

y=1/4x2に適当な値を放り込む。
x=2のとき、y=1
x=6(2の3倍)のとき、y=9
1→9なので、9倍。


yに5.6を代入。
1/4x2=5.6
2=22.4
x=√22.4
√22.4がどの範囲に属するかを調べる。平方数を活用!
√16<√22.4<√25だから、
4<√22.4<5
よって、4秒以上5秒未満のイ。


大問3(数量変化)

Ⅰ(1)
0~20分までは、毎分3cm下がるのだから、
5分後には、3×5=15cm下がる。

(2)
毎分6mcm下がる→傾きは-6
y=-6x+bにおいて、x=20、y=60を代入して切片bを求める。
60=-6×20+b
b=180
よって、y=-6x+180

(3)①
『ポンプAとポンプBが1分間に抜く水の量は同じ

Aの故障により、排水の効率は半分に落ちる。
つまり、毎分1.5cm下がる。
14分後~20分後は6分間なので、
1.5×6=9cm下がる。
14分後に90cmだったから、90-9=81cm


もし、昨年のようにAが壊れていなかった場合、
14分後は、120-3×14=78cmになっていた。

が昨年、が今年。
ここで三角形の相似を利用する
90-78=12cm
91-60=21cm
三角形の底辺の比から、12:21=④:⑦
これを高さ(時間の方)で分配すると、④:③となる。
20-14=6分が③に相当するから、
⑦=6分×⑦/③=14分。
Aが壊れたのは、20分の14分前である6分となる。
6分後


0~6分後までは昨年と同様。
6分後にAが破壊。
通常ならば、6分後~20分後の14分間で水面が60cmになる予定であったが、
Bだけになったことで排水の効率が半分となり、時間が2倍かかる。
よって、+14分追加でかかる。

水面の高さが60~30cmの間も、通常ならば20分後~25分後の5分間で完了となるが、
Bだけなので時間が2倍かかり、+5分追加でかかる。
したがって、昨年より19分遅かった。

Ⅱ(1)

注意点は、水面の高さyが60cmのときに折れること。
給水量は同じで底面積が2倍になるから、水面の上昇率は半分になる。
60cm以下は傾き1で、60cm以上は傾きが1/2(右2上1)。
y=120までひくと、xは30となる。

(2)
y=100cmのときのxの値を調べる。
*そのまま。数値でいえば、22分ですね。


大問4(平面図形)

Ⅰ(1)
△ABDは3:4:5の直角三角形⇒BD=10cm
中点連結定理の形で、BDの半分がEF。
EF=5cm

(2)

大きい円柱から小さい円柱をひく。
底辺の半径と高さが2倍の関係なので、体積比は①:⑦(全体が2×2×2=⑧)。
6×6×π×8×1/3×7/8=84πcm3


(1)
ウ:BD//FEから、同位角で∠ABD=∠AFE
エ:AB//DCから、錯角で∠ABD=∠BDC

(2)

合同の証明問題では基礎レベル。
錯角か対頂角で2角が等しいと指摘。

(3)①
斜線の長さは、だいたい三平方。
BDを斜辺とする直角三角形を作成する。

右側に補助線。AD//BCから錯角で60°を下ろす。
すると、30°-60°-90°の直角三角形が見つかる
1:2:√3を活用⇒CI=3、DI=3√3
△DBIで三平方。
BD=√(112+3√32)=√148=2√37cm



前問で証明した相似を用いる。
△GBC∽△GDE
BG:GD=8:6=4:3
平行四辺形の対角線は各々の中点で交わるので、
BH:HD=1:1

辺BD上で連比。
BH:HG:GD=7:1:6
△BCDは底辺が8、高さが3√3。
△CGHの面積は、8×3√3×1/2×1/14=6√3/7cm2

昨年より易化しているので、
点が取れなかった人は猛省ですわな(‘д‘⊂彡☆))Д´)パ-ン
グラフ問題は中学入試で定番の相似が対処しやすい。
ラストの連比は面倒だけど頑張ってほしい。
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