2019年度 西大和学園中学過去問【算数】県内大問4解説

長さが1mである9色の棒が1本ずつあります。
棒の色ごとに【表】のようにそれぞれの棒を等分します。

〔1〕同じ色の棒だけをつなげて、いろいろな長さの棒を作ることを考えます。
ただし、棒1本だけで作ってもよいものとします。
<例>
・黄色の棒1本だけで、長さが1/5mの棒を作ることができます。
・青色の棒を3本つなげると、長さが3/8mの棒を作ることができます。
・黄色の棒1本だけで作った棒の長さと、黒色の棒2本つなげて作った棒の長さは、
 どちらも同じ1/5mです。
(1)
長さが1/2mの棒で、異なる色のものは全部で何本できますか。

(2)
次の〔 ア 〕~〔 ウ 〕に当てはまる数を答えなさい。
作ることのできる棒の長さは全部で〔 ア 〕通りあり、
15番目の長さは〔 イ 〕mとなります。
また、〔 ア 
〕通りの長さをすべて足し合わせると〔 ウ 〕mとなります。

(3)
次の〔 エ 〕と〔 オ 〕に当てはまる色の組み合わせをすべて答えなさい。
ただし、〔 エ 〕と〔 オ 〕は異なる色とします。
〔 エ 〕の棒を2本つなげた棒の長さから、〔 オ 〕の棒1本の長さをひくと、
緑色の棒1本と同じ長さになります。

〔2〕さらに、異なる色の棒をつなげてもよいものとします。
<例>
・白色の棒1本と黒色の棒1本をつなげると、
 長さが3/5mの棒を作ることができます。
・オレンジ色の棒2本と黄色の棒1本をつなげると、
 長さが7/10mの棒を作ることができます。

(4)
棒をつなげて長さが2/3mの棒を作る方法を考えます。
2種類の色の棒を使う場合、全部で何通りの方法がありますか。
ただし、色の種類と棒の本数が同じものは、つなぐ順序に関係なく1通りと考えます。


@解説@
分子が1である単位分数の設問。
解法が編み出しにくい…。
(1)
1/2=2/4=3/6=4/8=5/10
白1本、オレンジ2本、緑3本、青4本、黒5本をつなげる。
よって、5本。

(2)
ここらからきつくなってくる(´゚д゚`)

分数になおしたとき、約分できる分数は長さがかぶってしまう。
たとえば、4/6は2/3に約分できるので、
緑4本と赤2本は同じ長さ。
そこで、約分のできない既約分数を数える
白…1/2
赤…1/3、2/3
オレンジ…1/4、3/4
黄…1/5、2/5、3/5、4/5
緑…1/6、5/6
水…1/7、2/7、3/7、4/7、5/7、6/7
青…1/8、3/8、5/8、7/8
紫…1/9、2/9、4/9、5/9
、7/9、8/9
黒…1/10、3/10、7/10、9/10

これに1mをくわえて、32通り。
数が多くて面倒くさい(´Д`)
ア…32

短い方から数えて15番目の棒の長さを求める。
自力でやると、途中で混乱する。
全体は32通りで
、その半分は16番目

ここで線分図をチラ見|д゚)
重複しているところは×。
32通りのうち、1mを除外した31通りに注目。
1/2のところで縦線をひくと左右対称になる
つまり、1/2が半分の16番目で、それより下に15個、上に15個ある。
15番目は、1/2より下で1/2に近い数字になる。
(言い換えると、1/2未満の最大数)
分母が偶数だと約分で1/2となるから、その1個下は1/2から離れる。
奇数の分母に注目。
1/3、2/5、3/7、4/9(←分子を2倍しても分母に届かない)
この中で最も1/2に近いのは、分母の数が最も大きい4/9。
分母が大きければ大きいほど、目盛りの間隔は狭くなる。
イ…4/9

長さの合計を求める。
アで求めた既約分数の合計が答え。
分母と分子を同数にすれば1になる
白…1/2⇒0.5m
赤…1/3、2/3⇒1m
オレンジ…1/4、3/4⇒1m
黄…1/5、2/5、3/5、4/5⇒2m
緑…1/6、5/6⇒1m
水…1/7、2/7、3/7、4/7、5/7、6/7⇒3m
青…1/8、3/8、5/8、7/8⇒2m
紫…1/9、2/9、4/9、5/9、7/9、8/9⇒3m
黒…1/10、3/10、7/10、9/10⇒2m
同色の棒をすべてつないで1m。
計16.5m
ウ…16.5
通分は避けたほうが無難。

@別解@
1/2を真ん中として、下に15通り、上に15通りある。
左右対称なので、たとえば、2/5と3/5、2/9と7/9は対称関係にあり、
これらの和はそれぞれ1mである。
ということは、下15通りと上15通りを合わせると、1mの組合わせが15個できる
1m×15=15m
これに真ん中の1/2mと1mを足して、16.5m。

(3)
式で表すと下のようになる。

オに数字を代入して、8回調べる。
1/6+1/2=2/3
1/6+1/3=1/2
1/6+1/4=5/12
1/6+1/5=11/30
1/6+1/7=13/42
1/6+1/8=7/24
1/6+1/9=5/18
1/6+1/10=4/15
このなかで、分母が10までの単位分数の2倍になるものは、
2/3⇒1/3×2、1/2⇒1/4×2のみ。
(エ、オ)=(赤色、白色)(オレンジ色、赤色)

(4)
2つの和で2/3となる組み合わせを考える。
前問にでた〔1/2+1/6〕が1つ。
もう1つは、〔1/3+1/3〕。
基本の形はこれしかない。
ここらへん数的センスが問われる
(;^ω^)

分母が大きいもの同士を倍にして帳尻を合わせれば2/3を作れそうだが、
実は作ることができない。
各単位分数を小数に直してみる。
1/2=0.5
1/3=0.333・・
1/4=0.25
1/5=0.2
1/6=0.166・・
1/7=0.142・・
1/8=0.125
1/9=0.111・・

2/3=0.666・・の循環小数(無限小数)。
分母が7だと小数点以下が142・・のループで作れない。
分母が4、5、8は有限小数で、ここから0.666・・を作るには、
1/6に0.5を足すしかないので、結局は〔1/2+1/6〕の形になる。
1/9を6倍すれば0.666・・だが、1種類の使用なので×。
分母が2・3・6の分数を使わずして、0.666・・を作る組み合わせはない。

@1/2+1/6@
1/2+1/6…白1本+緑1本
2/4+1/6…オレンジ2本+緑1本
4/8+1/6…青4本+緑1本
5/10+1/6…黒5本+緑1本

@1/3+1/3@
2/6+1/3…緑2本+赤1本
3/9+1/3…紫3本+赤1本
2/6+3/9…緑2本+紫3本
以上、7通り。
他に良い解法を見つけた方は、お問い合わせからお知らせ願います(^^;
難関中(算数科)解説ページに戻る

◆menu◆ 公立高校入試…関東圏メイン。千葉だけ5教科あります。%は正答率。
難関中算数科…中学受験の要。数学とは異次元の恐ろしさ(;´Д`)
難関中社会科…年度別。暗記だけじゃ無理な問題がいっぱい!
難関中理科…物化生地の分野別。初見の問題を現場思考でこなせるか。
難問特色検査…英国数理社の教科横断型思考問題。
センター試験…今のところ公民科だけ(^-^;ニュース記事だけじゃ解けないよ!
勉強方法の紹介…いろいろ雑記φ(・・。)
QUIZ…☆4以上はムズいよ!
◆スポンサードリンク◆
株価が爆上げした『すららネット』様。


noteも書いています(っ´ω`c)
入試問題を題材にした読み物や個人的なことを綴っていこうと思います。
気軽にお立ち寄り下さい(*^^*)→サボのnote
サボのツイッターはコチラ→

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。

CAPTCHA