2019年度 海陽学園中学入試問題・特別給費【算数】大問3解説

いくつかの点を平面上に配置することを考えます。3つの点であれば、図1のように正三角形の頂点上に配置することで、どの2点の距離も等しくできます。4つの点であれば、図2のように正方形の頂点上に配置することで、2点の距離は各辺の長さ(——-)と対角線の長さ(―――)の2種類にできます。

点の配置と、2点の間の距離について次の問いに答えなさい。ただし、図示するときには図2のように異なる長さは異なる種類の線で表すこと。

(1)
5点で距離の種類が2種類となっている配置を1つ図示しなさい。

(2)
図3のように直角二等辺三角形でない方の三角定規の頂点の位置に、3つの点配置しました。これに4点目を追加しても、距離の種類が増えないようにすることができます。たとえば図4の①の点です。4点目として他に考えられる点を2つ②、③として図示しなさい。

(3)
4点が距離の種類が2種類になるように配置したい。図2以外の配置を3つ図示しなさい。ただし回転したり、裏返したり拡大縮小して同じ形になるものは1つとします。


@解説@
距離を意識して点の配置を考える。面白い問題(*’ω’*)
解答は『異なる長さは異なる種類の線で表す』ことになっていますが、
以下の解説では頂点の位置のみ示しているところもあります。
(1)
5つの点を2種類の距離で配置する。
等距離を多く作る→円や正多角形を思い浮かべてみよう

正五角形の一辺と対角線。
円の中心から72°ずつ離して配置する。

(2)
直角二等辺三角形ではない方の三角定規
⇒30°-60°―90°
最も短い辺の2倍が斜辺の長さになる

↑3つの赤い点のうち、2つを書けばいい。
それぞれの辺の長さは1:2:√3(←大きな正三角形の高さ)になる。

考えるコツとしては、どこかの頂点を中心にして、最も短い辺の半径に弧を描いてみる。
左か上の頂点を中心にして、最も長い斜辺を半径に弧を描いてみる。
2種類の正三角形が見えれば、正解に近づけるはず。

(3)
あれこれ想像しながら試行錯誤。
パズル問題のようで楽しい(ノ)`ω´(ヾ)

等距離をたくさん作るので、中途半端な図形にはならない。
対称図形だったり、正多角形や二等辺三角形など特徴的な図形になるはず。


まず、3点を正三角形の頂点にする
残りの1点を中心に置く。
ちょうど外接円の中心に来る。

前問で正三角形を利用したので、これを横に並べてみる。
この菱形の頂点も2種類の距離で離れている。

難しいが…正三角形の上部に、1辺の長さと同じ距離に4つ目の点を持っていく。
全体が30°-75°-75°の二等辺三角形になる。

逆に、4点目を下へ持ってくることもできる。
正三角形の一番上の頂点を中心にコンパスで弧を描くと、
残り3つが円周上にくる。

(1)で答えた正五角形のうち、1つを除くと・・・。

時間をかければ2つは出てくるかもしれないが、
3つ出さなくてはならないのでツライ(´゚д゚`)

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