2019年度 早稲田中学入試問題2回目【算数】大問4解説

整数を1から順に下の図のようなます目に並べていきます。
図は28までを並べたところです。
ます目にある数の位置を、1の書いてあるますを基準にして、
(左か右に進んだ数、上か下に進んだ数)
と表すことにします。
例えば、3の位置は(右1、上1)、20の位置は(左2、下1)、23は(0、下2)
28の位置は(右3、0)と表されます。次の問いに答えなさい。

(1)
(右5、上5)にある数は何ですか。

(2)
144の位置を答えなさい。

(3)
(右11、下9)にある数は何ですか。

(4)
2019の位置を答えなさい。


@解説@
(1)
マス目があるので、機械的に手を動かして書いてみる。

(右4、上4)は57だが1歩足りず・・。
斜め右の数列は、【1・3・13・31・57・・】
増加数は、(2・10・18・26・・)
増加数の増加数は8で一定
次の増加は、26+8=34なので、
(右5、上5)は、57+34=91

@余談@
1から右に行っても増加の増加は8。
【1・2・11・28・53・・】
53の次は86。86に5を足して91。

1から上にいっても同様。
【1・4・15・34・61・・】
61の次は96。96から5を引いて91。

(2)
144は12の平方数。

(0、上1)⇒4
(左1、上2)⇒16
(左2、上3)⇒36
2の平方数が上1、4の平方数が上2、6の平方数が上3なので、
12の平方数は上6となる。
左に進む数は、上に進む数-1。
よって、144は(左5、上6)。

@余談@
4の反対側【2・10・26・50…】は2つの偶数の平方数の平均。
10=4と16の平均。26=16と36の平均。50=36と64の平均。
ちょうど半周する位置にある。

(3)
奇数の平方数は見つけやすい。

(右1、下1)⇒3の平方数9
(右2、下2)⇒5の平方数25
(右3、下3)⇒7の平方数49
(○の平方数-1)÷2=進んだ数
(右9、下9)→9×2+1=19⇒19の平方数361

お隣の(右10、下9)は362。
しかし、右11はグルっと1周したあとなので途方に暮れる…。

25の2つ右隣りは49から2を足す。
右下を経由して右上に行く

(右10、下10)は21×21=441
(右11、下9)は441+2=443

(4)
奇数の平方数が最も計算しやすいので、ここから攻め入る。
30×30=900
40×40=1600
50×50=2500

2019に近い奇数の平方数は、40~50の範囲にある。
45×45=
2025
(45-1)÷2=22
2025は(右22、下22)
2019は同じ行で左に6なので、(右16、下22)

ちなみに、今年の四天王寺中学でも螺旋型数列が出ました。

早稲田の方が手がかかるかな?
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