2021年度 海城中学過去問【算数】大問6解説

すべての面が白色の立方体と、すべての面が黒色の立方体がたくさんあり、いずれも1辺が1cmです。これらを使って下の図のように立体を作ります。ただし、同じ段には同じ色の立方体が使われているものとします。例えば、3番目にできる立体は、上から1段目が1個の白色の立方体、上から2段目が3個の黒色の立方体、上から3段目が6個の白色の立方体でできています。

(1)
6番目にできる立体の表面のうち、黒い部分の面積を求めなさい。

(2)
6番目にできる立体の表面のうち、白い部分の面積を求めなさい。

(3)
〔  〕番目にできる立体の表面のうち白い部分をすべて黒い色に塗った後、
この立体をばらばらにしました。このとき白く残った部分の面積の合計は720cm2でした。
〔  〕にあてはまる数を求めなさい。


@解説@

6番目ということは一番下が黒。
下の面を考えなくていい、白の表面積が計算しやすい

(2)

5番目の立体の図を手掛かりに、横から見たときの白は1+3+5=9cm2
(連続する奇数の和の出し方;5が3番目の奇数だから3×3=9cm2
これが側面の4方向あるので、9×4=36cm2

上からみたときもちょうど9面!
したがって、白の面積は36+9=45cm2

(1)
黒は全体の表面積から白45cm2を引けばいい。

↑6番目の立体は、6方向すべてこう見える。
1~6の和=21
全体の表面積…21×6=126cm2
黒の表面積…126-45=
81cm2

(3)
白の表面をすべて黒に塗り替える。
白く残った部分は、白の立方体の中の面である。

方針としては、【白の立方体の個数×6面=黒に塗られる前の白の面積の合計
これから〔 〕番目の白の表面積を引くと中の合計が720cm2となる〔 〕番目を求める】

白の立方体は奇数番目で追加される。
1番目…1個
3番目…1+(1~3の和)=1+6=7個
5番目…7+(1~5の和)=7+15=22個
7番目…22+(1~7の和)=22+28=50個
9番目…50+(1~9の和)=50+45=95個
11番目…95+(1~11の和)=95+66=161個

白の面積の合計は、95×6=570cm2、161×6=966cm2
11番目から720cm2を超える
とりあえず、11番目の白く残った部分を計算してみる。

(2)のように計算すると楽なので、一番下を黒の段にする→12段目で計算
横から見ると、1+3+5+7+9+11=6×6(11は6番目の奇数)=
36cm2
これが4方向あり、上から見た白も同じ面積だから、白の表面積は36×5=180cm2
白く残った部分は、966-180=786cm2

720cm2を超えている
12段目の黒を取っ払って11段にする。
底面にできる白の面積は1~11の和→66cm2
これが表面にむき出しになって黒に塗り替わったとすると、786-66=720cm2!!
したがって、
11番目。
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