2020年度 ラ・サール中学入試問題【算数】大問6解説

下の図の三角形ABCで、AB=6cm、BC=4cmです。
辺BC上の点で、BP=1cmとなる点Pを中心として、三角形ABCを回転させると、
AはDに、BはEに、CはFにうつって、Fは辺AC上、BはDE上となりました。
辺ABとDFの交点をQとして、次の問に答えなさい。

(1)
AFは何cmですか。

(2)
AQは何cmですか。

(3)
三角形ABCと四角形BEFQの面積比を最も簡単な整数の比で表しなさい。


@解説@
はじめの発想が肝心(;´・ω・)
(1)

Pが回転の中心。
PB=PE=1cm、PC=PF=3cm
△PBEと△PCFは二等辺三角形となる。
対頂角から、∠BPE=∠CPFで、2辺の比とあいだの角度が等しくなり
△PBEと△PCFは相似関係
残りの4つの角度(
)はすべて等しい。

さらに回転移動から、∠ACB=∠DFE=
∠ABC=∠DEF=
△ABCの底角がともにで二等辺|д゚)
(ABとACの長さは違うように見えるが、作図が正確に描かれていない)
 
△ABC∽△PFCに注目!
CF=4×3/6=2cm
AF=6-2=4cm

(2)

BE=2×1/3=2/3cm
DB=6-2/3=16/3cm

ニ等辺の内角は×なので、∠BAC=∠EDF=×
対頂角である∠AQF=∠DQBとあわせ、
2角相等より△AQF∽△DQB→∠AFQ=∠DBQ=×
×=180°と半直線からも、∠AFQ=∠DBQ=×を説明できる)
AQ:DQ=AF:DB=4:16/3=③:④
△DQBは二等辺なのでBQ=④→AQ:QB=③:④
AQ=6×3/7=18/7cm

(3)

DB:BE=16/3:2/3=8:1
DQ:AQ=4:3
△AQFが二等辺→QA=QFより、DQ:QF=4:3

△DEF内部で面積比の計算。
△DEF…9×7=63
△DBQ=8×4=32
四角形BEFQ=63-32=31
△DEFと△ABCは合同なので、
△ABC:四角形BEFQ=63:31
難関中(算数科)解説ページに戻る


note書いています(*'ω'*)
入試問題を題材にした読み物や個人的なことを綴っていこうと思います。
気軽にお立ち寄り下さい(*^^*)→サボのnote

コメントを残す

メールアドレスが公開されることはありません。

CAPTCHA