2020年度　ラ・サール中学過去問【算数】大問６解説

問題ＰＤＦ
下の図の三角形ＡＢＣで、ＡＢ＝６ｃｍ、ＢＣ＝４ｃｍです。
辺ＢＣ上の点で、ＢＰ＝１ｃｍとなる点Ｐを中心として、三角形ＡＢＣを回転させると、
ＡはＤに、ＢはＥに、ＣはＦにうつって、Ｆは辺ＡＣ上、ＢはＤＥ上となりました。
辺ＡＢとＤＦの交点をＱとして、次の問に答えなさい。

（１）
ＡＦは何ｃｍですか。

（２）
ＡＱは何ｃｍですか。

（３）
三角形ＡＢＣと四角形ＢＥＦＱの面積比を最も簡単な整数の比で表しなさい。

＠解説＠
はじめの発想が肝心。
（１）

Ｐが回転の中心。
ＰＢ＝ＰＥ＝１ｃｍ、ＰＣ＝ＰＦ＝３ｃｍ
△ＰＢＥと△ＰＣＦは二等辺三角形となる。
対頂角から、∠ＢＰＥ＝∠ＣＰＦで、２辺の比とあいだの角度が等しくなり、
△ＰＢＥと△ＰＣＦは相似関係。
残りの４つの角度（

）はすべて等しい。

さらに回転移動から、∠ＡＣＢ＝∠ＤＦＥ＝●
△ＤＥＦ（△ＡＢＣ）は底角がともに●で二等辺三角形！

 
△ＡＢＣ∽△ＰＦＣに注目（∽…相似）
ＣＦ＝４×３/６＝２ｃｍ
ＡＦ＝６－２＝４ｃｍ

（２）

ＢＥ＝２×１/３＝２/３ｃｍ
ＤＢ＝６－２/３＝16/３ｃｍ

ニ等辺の内角は×－●－●なので、∠ＢＡＣ＝∠ＥＤＦ＝×
対頂角の∠ＡＱＦ＝∠ＤＱＢとあわせて、２角相等より△ＡＱＦ∽△ＤＱＢ→∠ＡＦＱ＝∠ＤＢＱ＝×
（×＋●＋●＝180°と半直線からも、∠ＡＦＱ＝∠ＤＢＱ＝×を説明できる）
ＡＱ：ＤＱ＝４：16/３＝③：④
△ＤＱＢは二等辺なのでＤＱ＝ＢＱ＝④→ＡＱ：ＱＢ＝③：④
ＡＱ＝６×３/７＝18/７ｃｍ

（３）

ＤＢ：ＢＥ＝16/３：２/３＝８：１
ＤＱ：ＡＱ＝４：３
△ＡＱＦは二等辺→ＱＡ＝ＱＦより、ＤＱ：ＱＦ＝４：３

隣辺比から面積比を計算する。
△ＤＥＦ…９×７＝63
△ＤＢＱ＝８×４＝32
四角形ＢＥＦＱ＝63－32＝31
△ＤＥＦと△ＡＢＣは合同なので、
△ＡＢＣ：四角形ＢＥＦＱ＝63：31
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