問題PDF
下の図の三角形ABCで、AB=6cm、BC=4cmです。
辺BC上の点で、BP=1cmとなる点Pを中心として、三角形ABCを回転させると、
AはDに、BはEに、CはFにうつって、Fは辺AC上、BはDE上となりました。
辺ABとDFの交点をQとして、次の問に答えなさい。
(1)
AFは何cmですか。
(2)
AQは何cmですか。
(3)
三角形ABCと四角形BEFQの面積比を最も簡単な整数の比で表しなさい。
@解説@
はじめの発想が肝心(;´・ω・)
(1)
Pが回転の中心。
PB=PE=1cm、PC=PF=3cm
△PBEと△PCFは二等辺三角形となる。
対頂角から、∠BPE=∠CPFで、2辺の比とあいだの角度が等しくなり、
△PBEと△PCFは相似関係。
残りの4つの角度(●)はすべて等しい。
さらに回転移動から、∠ACB=∠DFE=●
∠ABC=∠DEF=●
…△ABCの底角がともに●で二等辺|д゚)
(ABとACの長さは違うように見えるが、作図が正確に描かれていない)
△ABC∽△PFCに注目!
CF=4×3/6=2cm
AF=6-2=4cm
(2)
BE=2×1/3=2/3cm
DB=6-2/3=16/3cm
ニ等辺の内角は×-●-●なので、∠BAC=∠EDF=×
対頂角である∠AQF=∠DQBとあわせ、
2角相等より△AQF∽△DQB→∠AFQ=∠DBQ=×
(×+●+●=180°と半直線からも、∠AFQ=∠DBQ=×を説明できる)
AQ:DQ=AF:DB=4:16/3=③:④
△DQBは二等辺なのでBQ=④→AQ:QB=③:④
AQ=6×3/7=18/7cm
(3)
DB:BE=16/3:2/3=8:1
DQ:AQ=4:3
△AQFが二等辺→QA=QFより、DQ:QF=4:3
△DEF内部で面積比の計算。
△DEF…9×7=63
△DBQ=8×4=32
四角形BEFQ=63-32=31
△DEFと△ABCは合同なので、
△ABC:四角形BEFQ=63:31
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