2018年度 海城中学入試問題【算数】大問5解説

これは、ある国のお城から魔王に連れ去られた姫を勇者が救いに行き、
もとのお城まで連れて戻ってくる冒険の物語です。
この国では格子状の道があり、行きは北か東のみ、帰りは南か西のみ動くことができます。

(1)第1の冒険
図のように街には川が流れており、橋を渡って通るしかありません。
ただし、橋は1度通るとこわれてしまい、再び通ることができなくなります。
このとき、勇者が姫を無事にお城まで連れて戻ってこられる方法は何通りありますか。

(2)第2の冒険
第1の冒険を終えた後、姫は違う街に連れ去れてしまいました。
この街で魔王は、勇者が道を1つ進むごとに、図1のA、B、C地点を
A→B→C→B→A・・・の移動を繰り返しています。
勇者がスタートするときには魔王はA地点にいます。
したがって、勇者が道を5つ進んだときに、魔王はB地点にいることになります。
勇者が魔王に出会わずに、姫を無事にお城まで連れて戻ってこられる方法は何通りありますか。


@解説@
こういうゲームありましたね( ˘ω˘ )

(1)
全てのケースから、壊れてしまった橋を通過するケースをひく
まず、城から姫までの道順が何通りあるか求める。
マスの左上に数字を書き込んでもよいが、マスが多くなると大変なので順列で算出。

最短距離では7つの道を通過する。
右4回、上3回。
すなわち、【右・右・右・右・上・上・上】の順列に相当する。

7×6×5×4×3×2×1÷(4×3×2×1)÷(3×2×1)=35通り
行って帰ってくるので、35×35=1225通り

5つの橋をA~Eとする。
Aを使うと、城から姫の往路は4通り。
復路でAを通る場合は同じく4通りなので、往復で16通り。

同様に、B~Dはそれぞれ9×9=81通り、E4×4=16通り。
1225-(16+81+81+81+16)=950通り

(2)
勇者だったら倒せ
( ‘д’⊂彡☆))Д´) パーン

直前のポイントをD・E・F・Gとする。
Dは7手目。D→Aに進むとき、魔王はB→Aで鉢合わせ。
Eは6手目。E→Bに進むとき、魔王はC→Bで鉢合わせ。
FもEと同様に×。
Gは7手目。G→Aに進むとき、魔王はB→Aだから会わない。
Gルートしかない。
 
8手目〔勇者:C、魔王:A〕
9手目〔勇者:姫、魔王:B〕
10手目〔勇者:A、魔王:C〕
→帰りはDを通る。

城~Gが21通り、D~城が35通りなので、
21×35=735通り

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note書いています(*'ω'*)
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