2017年度 早稲田中学入試問題【算数】大問3解説

1時間に12分ずつ遅れる置き時計があります。
この置き時計を2月1日午前9時に正しい時刻に合わせました。
次の問いに答えなさい。

(1)
正しい時刻で2月1日午前9時から午後4時までの間に、
置き時計の長針と短針は何回直角をつくりますか。ただし、午前9時を1回目とします。

(2)
置き時計が2月1日午後3時4分を示すとき、正しい時刻は午後何時何分ですか。

(3)
正しい時刻で2月1日午前11時から午前11時30分までの間に、
置き時計の10時の方向と短針がつくる角を長針が二等分するとき、
正しい時刻は午前何時何分ですか。


@解説@
(1)
長身が1周するのに、正しい時刻は60分、置き時計は48分。
針の進む速さは、正しい時刻:置き時計=60:48=5:4
正しい時刻の7時間で、置き時計が進む針は、
420分×4/5=336分=5時間36分
置き時計は、9時~午後2時36分まで。

9時00分をはじめの1回の直角とカウントしたとき、
長針が1周するあいだに短針と直角になる回数は2回ある。
また、置き時計の2時から2時36分のあいだに直角は1回できる。
(文字盤の2から90°時計回りに進んだ5から6のどこかに長針がいるとき)
よって、2×5+1=11回

(2)
午前9時00分~午後3時4分までの時間を求める。
60×6+4=364分

針の進む速さは、正しい時刻:置き時計=5:4なので、
正しい時刻では、364×5/4=455分=7時間35分
午前9時から7時間35分後→午後4時35分

(3)
正しい時刻では、1時間に長針は360°、短針は30°回転するので、
長針と短針の速さの比は、長針:短針=360:30=12:1
これは、1時間に48分しか進まない置き時計でも速さの比は変わらず12:1。

正しい時刻で、午前9時から120~150分後。
これを置き時計に換算する。
120×4/5=96分、150×4/5=120分
つまり、置き時計では9時から96分~120分後(10時36分~11時00分のあいだ

この間に、『置き時計の10時の方向と短針がつくる角を長針が二等分する』状況を作図する。

長針は12から⑫、短針は10から①進む。
等角の大きさは○0.5にあたる。
⑫-○0.5=○11.5が50分なので、長針が進んだ⑫は、
50×12/11.5=1200/23分(=52・4/23分)
10時から1200/23分なので、9時から計算すると、1200/23+60=2580/23分

以上は置き時計の話で、これを正しい時刻に変換すると、
2580/23×5/4=3225/23分=140・5/23分=2時間20・5/23
午前9時から2時間20・5/23分後である、午前11時20・5/23分が答え。
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