2019年度　長崎県公立高校入試Ｂ問題【数学】解説

平均59.9点（前年比；＋6.2点）
問題はコチラ→ＰＤＦファイル（Ａ問題の次にあります）
Ａ問題の解説はこちら。

大問１（小問集合）

（１）
（√２－√６）²＋12/√３
＝２－２√12＋６＋４√３
＝８

（２）
12ａ²ｂ³÷４/３ａｂ²×（－２ｂ）²
＝36ａｂ³

（３）
Ｓ＝１/２（ａ＋ｂ)ｈ　←両辺を２倍して（）を展開
２Ｓ＝ａｈ＋ｂｈ　←ａのみ左辺へ
ａｈ＝２Ｓ－ｂｈ
ａ＝２Ｓ/ｈ－ｂ

（４）
（ｘ＋１）（ｘ＋４）＝２（５ｘ＋１）
ｘ²－５ｘ＋２＝０
因数分解ができないので、解の公式を適用。
ｘ＝（５±√17）/２

（５）
√（67－２ｎ）の根号を外すと整数になる。
ｎは自然数なので、67－２ｎは81（＝９²）以下。
つまり、√（67ー２ｎ）＜√81（＝９）だから、根号を外すと８以下の整数。
ルートの中の67－２ｎは、８以下の整数の平方数になる。

ｎの値をできるだけ小さくするので、67－２ｎの値をできるだけ大きくする。
67は奇数。２ｎは偶数。
奇数－偶数＝奇数だから、８以下の平方数で最も大きい奇数の平方数49が怪しい。
67－２ｎ＝49
ｎ＝９

（６）
①ｙ＝－ｘ＋100（一次関数）
②ｙ＝πｘ²（ｙ＝ａｘ²）
③ｙ＝４ｘ（比例）
④ｙ＝６/ｘ（反比例）
反比例はｘとｙの積が比例定数ａで一定。
⑤ｙ＝３ｘ（比例）

（７）
円錐の側面になる扇形の中心角…360×底面の半径/母線
360×２/５＝144°

（８）

角の二等分線は、２本の直線から等距離にある点の集合。

円の中心Ｐは３本の線分から等距離にある。
∠ＡＢＣと∠ＤＣＢの二等分線の交点が中心Ｐとなる。

大問２（小問集合２）

（１）①　（Ａと違い、確率を求める）
カードを取り出し方は、４×４＝16通り
引き分けは（１、１）か（４、４）の２通り。
２/16＝１/８

②
【全体－引き分け＝勝敗がつく】
１－１/８＝７/８

③
前問の考えを利用する。
陽平と明子の勝率を等しくするには、勝敗がつく場合が偶数でなければならない。
カードを１枚追加すると、全体の取り出し方は５×４＝20通り
全体（偶数）－勝敗がつく（偶数）＝引き分け（偶数）
すなわち、引き分けの場合も偶数でなくてはならない。
Ａ（１・４・５・６）
Ｂ（１・３・４・７）

現状、引き分けは（１、１）（４、４）のみ。
１か４を追加すると、片方に１か４が２つ偏るので引き分けのパターンが奇数になる。
３・５・６・７を追加すると、（１、１）（４、４）に加え、
追加したカードと同じ数の組み合わせで引き分けが３パターンになってしまう。
つまり、追加するカードは箱Ａ・箱Ｂのどちらにも入っていない【２】と確定できる。

Ａ（１・４・５・６）
Ｂ（１・３・４・７）
箱Ｂに最も強い７のカードがあるが、他が弱いのでＢの方が弱そう。
２は弱いカードなので、箱Ａに２を入れる。
＊計算すると、２を入れる前、陽平が勝つ場合は８通り、明子が勝つ場合は６通り。
２のカードを箱Ａに入れると、陽平は（２、１）で勝つが、
明子は（２、３）（２、４）（２、７）で勝つので、両者９通りのパターンで勝利する。
確率でいえば、いずれも９/20で勝利する。

（２）①　（以下、Ａと同じ）
10人の中央値⇒５番目と６番目の平均値。
５番目は４点、６番は５点なので、中央値は4.5点。

②
４点は２人なので、２÷10＝0.2
相対度数は分数ではなく、小数であらわす。

③
範囲（レンジ）＝最大値－最小値
Ａ…範囲が広い。平均値4.5点。
Ｂ…範囲が狭い。４と５の間を対称の軸とすると左右対称→平均値4.5点
平均値はＡとＢで同じだが、範囲はＡの方がＢより大きい。
*高校数学ではデータのバラつき度合を分散で求めます。

（３）　（Ａと同じ）
抽出した120個のうち、アルミは75個だった。
全体：アルミ＝120：75＝８：５
4800×５/８＝3000個

大問３（関数）

（１）
ｙ＝１/２ｘ²にｘ＝－２を代入。
ｙ＝１/２×（－２）²＝２

（２）
同様にＢの座標を求める。Ｂ（４、８）
Ａ（－２、２）⇒Ｂ（４、８）
右に６、上に６なので傾きは１。
Ａから右に２、上に２でＡＢがｙ軸と交わる。
切片の座標は（４、０）
よって、ＡＢ：ｙ＝ｘ＋４

（３）
原点を通過するのがポイント！
最小値　ｘ＝０のとき、ｙ＝０
最大値　ｘ＝４のとき、ｙ＝８
０≦ｙ≦８

（４）①
ＯＢ：ｙ＝２ｘ
Ｑのｙ座標…ｙ＝２×５＝10
Ｒのｙ座標…ｙ＝１/２×５²＝25/２
ＰＱ：ＱＲ＝10：25/２－10＝４：１

②

ＰＱ：ＱＲ＝１：５となる瞬間は、Ｂをはさんで２つある。
注意点はＢのｘ座標より下にくるとき、ＱとＲの位置が逆転する！

青①：⑤
ＰＱ：ＲＱ＝２ｘ：１/２ｘ²－２ｘ＝５：１
２ｘ＝５（１/２ｘ²－２ｘ）
５/２ｘ²－12ｘ＝０
５ｘ²－24ｘ＝ｘ（５ｘ－24）＝０
ｘ＝０だとＰＱ、ＱＲの長さが０になってしまうので、
ｘ＝24/５

赤①：⑤
ＰＱ：ＱＲ＝２ｘ：２ｘ－１/２ｘ²＝５：１
２ｘ＝５（２ｘ－１/２ｘ²）
５/２ｘ²－８ｘ＝０
５ｘ²－16ｘ＝ｘ（５ｘ－16）＝０
ｘ＞０より、ｘ＝16/５
したがって、16/５と24/５。

大問４（空間図形）

（１）　（以下、Ａと同じ）
【ねじれの位置】⇒平行でもない、かつ延長しても交わらない。
ＤＦとＥＦとＣＦで３本。

（２）
４×４÷２×８＝64ｃｍ³

（３）
錘の体積は柱の３分の１。

三角錐Ｅ－ＡＢＣが三角柱の体積の１/３倍にあたる。
ここから高さを調節する。
最終的に三角柱の体積の１/４倍になるので、高さを□とおくと、
１/３×□＝１/４
□＝１/４÷１/３＝３/４
ＢＥを３/４倍すればＢＰになる。
ＢＰ＝８×３/４＝６ｃｍ

（４）
水面の高さがは５ｃｍ。
水のあるところの体積：水がないところの体積＝⑤：③
容器を傾けても体積比は変化しない。

四角形ＡＤＦＣを底面とするので、高さを△ＡＢＣ方向から見る。

柱なので奥行きが等しいから、体積比は底面積の比と同じ。
水あり：水なし＝⑤：③

面積比は辺の２乗。
２乗して③となる→□√３
２乗して⑧となる→□√８＝□２√２
ＡＢ：ＧＢ＝２√２：√３

Ｂから垂線をおろし、交点をＩ・Ｈとする。
△ＢＨＣは直角二等辺三角形だから、１：１：√２でＢＨ＝４×１/√２＝２√２ｃｍ

△ＢＧＩ∽△ＢＡＨより、ＢＨ：ＩＨ＝２√２：２√２－√３
２√２×（２√２－√３）/２√２＝２√２－√３ｃｍ

大問５（平面図形）

（１）
△ＡＢＨで三平方。
ＡＨ＝√（３²－１²）＝√８＝２√２ｃｍ

（２）①
△ＡＢＣ∽△ＢＥＣの証明。

∠ＡＣＢ＝∠ＢＣＥ（共通角）
∠ＢＡＣ＝∠ＣＡＤ（仮定）
∠ＣＡＤ＝∠ＣＢＥ（弧ＣＤに対する円周角）
２角が等しい→∽

②
前問の∽を利用。
ＢＣ：ＥＣ＝ＡＣ：ＢＣ＝３：２
ＥＣ＝２×２/３＝４/３ｃｍ
ＡＥ＝３－４/３＝５/３ｃｍ
ＡＥ：ＥＣ＝５/３：４/３＝５：４

△ＡＢＥ：△ＥＢＣ＝５：４

△ＡＢＣの面積の５/９倍が△ＡＢＥとなる。
２×２√２÷２×５/９＝10√２/９ｃｍ²

（３）
∠ＡＥＢと等しい角を選ぶ。
対頂角である∠ＤＥＣは、さすがに選択肢にない。

△ＡＢＥと△ＡＣＤに着目、１辺と両端角が等しいので合同。
よって、∠ＡＥＢに対応する∠ＡＤＣが答え。③

（４）
（２）と（３）をクリアしていれば、すぐ出せる。
（３）より、△ＡＣＤは△ＡＢＥと合同。
（２）より、△ＡＢＥ＝10√２/９
△ＡＣＤ＝10√２/９
これに△ＡＢＣを足せばいい。
２×2√２÷２＋10√２/９
＝28√２/９ｃｍ²

大問６（整数）

（１）
28の約数。
１、２、４、７、14、28

（２）
３√３＝√27、２√６＝√24
√24＜√26＜√27
２√２＜√26＜３√３

（３）
ａ²＋ｂ²＝10²を満たす、自然数ａ、ｂの組合せを答える。
ａとｂは１以上９以下なので、
１～９の平方数１・４・９・16・25・36・49・64・81のなかから、
我が100になる組合せを調べると、36＋64＝100
ア：６、イ：８

＠別解＠
３：４：５でピタゴラス数となるので、
２倍して６：８：10からａ＝６、ｂ＝８といける。

（４）
【３以上の奇数ａの平方数が、連続する２つの自然数ｂ、ｃの和と等しくなると、
ａ²＋ｂ²＝ｃ²が成り立つ】
41は奇数なので、ａ＝41が解答の１つ。
もう１つは連続するｂ・ｃのうちのいずれかが41。
（例題をみるとｃが奇数なので、ｃが41ではないかと推測しておく）

◆ａ＝41
連続する２つの自然数をｎ、ｎ＋１とおく。
41²＝ｎ＋（ｎ＋１）
２ｎ＝1680
ｎ＝840
（ａ、ｂ、ｃ）＝（41、840、841）

◆ｂかｃ＝41
例題ではｃが奇数なので、ｃに41を当てはめてみる。
ｂはｃの１つ前の数なので40。
ａ²＝40＋41＝81
ａ＝９
（ａ、ｂ、ｃ）＝（９、40、41）
（９、40、41）と（41、840、841）

（５）
整数の証明問題。
連続する３つの自然数はｎ、ｎ＋１、ｎ＋２となる。
これらをａ、ｂ、ｃにあてはめる。
ｎ²＋（ｎ＋１）²＝（ｎ＋２）²
ｎ²－２ｎ－３
＝（ｎ－３）（ｎ＋１）０
ｎは自然数なのでｎ＞０
ｎ＝３
ピタゴラスの定理（三平方の定理）ａ²＋ｂ²＝ｃ²において、
ａ、ｂ、ｃが連続する自然数でａ＝３だから、
連続する３つの自然数の組合せからなるピタゴラス数は（３、４、５）
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