2019年度 長崎県公立高校入試A問題【数学】解説

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大問1(小問集合1)

(1)
8+(-2)×3
=8-6=2

(2)
3/4-1/3=5/12

(3)
√12-4√3
=2√3-4√3=-2√3

(4)
3(x+y)-(2x-y)
=3x+3y-2x+y
=x+4y
=5+4×(-1)=1

(5)
①…y=100-x
 y=-x+100なので1次関数。
②…y=πx2
③…y=4x(比例)
④…y=6/x(反比例)
 反比例はxyの値が一定になる。
 したがって、④。

(6)
連立。加減法でがんばる。
x=1、y=-1

(7)
2+6x+8
=(x+4)(x+2)

(8)
2+5x+2=0
因数分解できないので解の公式。
x=(-5±√17)/2

(9)

円周角定理で35°をスッと右側へ移動。
x=180-(95+35)=50°

(10)
角の二等分線の作図。
①Oから適当な弧を引く。
②OA,OBの交点からそれぞれ適当な弧を描く。
③うえの交点とOを結ぶ。

大問2(小問集合2)

(1)①
取り出し方は箱Aから4通り、箱Bから4通りなので、
4×4=16通り


引き分けは(陽平、明子)=(1、1)(4、4)のとき。
2/16=1/8


【全体-引き分け=勝敗がつく】
1-1/8=7/8
*ちなみに、陽平が勝つ確率は8/16=1/2
明子が勝つ確率は6/16=3/8になる。

(2)①
10人のメジアン⇒5番目と6番目の平均値。
5番目は4点、6番は5点なので、メジアンは4.5点。


4点は2人なので、4÷10=0.2
相対度数は分数ではなく、小数であらわす。


範囲(レンジ)=最大値-最小値
A…範囲が広い。平均値4.5点。
B…範囲が狭い。4と5の間を対称の軸とすると左右対称→平均値4.5点
平均値はAとBで同じだが、範囲はAの方がBより大きい。
*高校数学ではデータのバラつき度合を分散で求めます。

(3)
抽出した120個のうち、アルミは75個だった。
全体:アルミ=120:75=8:5
4800×5/8=3000個


大問3(関数)

(1)
y=x2にx=2を放り込む。
y=22=4

(2)
x=-1を放り込んで、A(-1、1)
A(-1、1)⇒B(2、4)
右に3、上に3なので、傾きa=1。
A(-1、1)から右1上1がy軸との交点。切片b=2。
y=x+2

(3)
等積変形でAとBをx座標に降下させると、
底辺が3、高さ2の三角形となる。
3×2÷2=3

(4)
OBをひいて四角形OABPを分割。
前問で△OABの面積が3だったので、
△OBP=11/2-3=5/2

平行線なので、鹿右傾OABPは台形。
△OAB:△OBP=3(上底):5/2(下底)
平行線は高さが等しいから、底辺の比が面積比になる
AB:OP=3:5/2

2本の平行線は傾きが1
つまり、x軸との間の角は45°になる

うえのように補助線をいれると、45°-45°-90°の直角二等辺三角形があらわれる。
AとBのx座標の距離が3なので、1:1:√2から、AB=3√2
OP=3√2×(5/2)/ 3=5√2/2

同様に、1:1:√2より、5√2/2×1/√2=5/2
Pのx座標は5/2。

大問4(空間図形)

(1)
【ねじれの位置】⇒平行でもない、かつ延長しても交わらない。
DFとEFとCFで3本。

(2)
4×4÷2×8=
64cm3

(3)
錘の体積は柱の3分の1。

三角錐E-ABCが三角柱の体積の1/3倍にあたる。
ここから高さを調節する。
最終的に三角柱の体積の1/4倍になるので、高さを□とおくと、
1/3×□=1/4
□=1/4÷1/3=3/4
BEを3/4倍すればBPになる。
BP=8×3/4=6cm

(4)
水面の高さがは5cm。
水のあるところの体積:水がないところの体積=⑤:③
容器を傾けても体積比は変化しない

四角形ADFCを底面とするので、高さを△ABC方向から見る。

柱なので奥行きが等しいから、体積比は底面積の比と同じ
水あり:水なし=⑤:③

面積比は辺の2乗
2乗して③となる→□√3
2乗して⑧となる→□√8=□2√2
AB:GB=2√2:√3

Bから垂線をおろし、交点をI・Hとする。
△BHCは直角二等辺三角形だから、1:1:√2でBH=4×1/√2=2√2cm

△BGI∽△BAHより、BH:IH=2√2:2√2-√3
2√2×(2√2-√3)/2√2=2√2-√3cm


大問5(平面図形)

(1)
半径より、OA=OB。
△OABは二等辺三角形なので、(180-120)÷2=30°

(2)①
 
角度を調べていくと、△ABCは30°-60°-90°の直角三角形。
1:2:√3より、AC=2√3×2/√3=4cm


△COD∽△CAB
AB:OD=AC:OC=2:1
OD=2√3×1/2=√3cm

③ア
△ODE∽△BAEの証明。
OD//ABなので、対頂角やら錯角やらで2角が等しい点を指摘する。


前問の∽を利用する。
△ODE∽△BAE
OE:BE=OD:BA=1:2

△BQE∽BDO
DQ:QB=OE:EB=1:2
DはBCの中点。
連比を組んで、CD:DQ:QB=3:1:2


面積比は辺の2乗。
△COD=③×③=□9
四角形OPQD=④×④-□9=□7
四角形PABQ=⑥×⑥-□16=□20

△ABCは1:2:√3の直角三角形。
BC=2√3×1/√3=2cm
四角形OPDQ=2√3×2÷2×7/36=7√3/18cm2

大問6(整数)

(1)
28の約数。
1、2、4、7、14、28

(2)
3√3=√27、2√6=√24
√24<√26<√27
2√2<√26<3√3

(3)
2+b2=102を満たす、自然数a、bの組合せを答える。
aとbは1以上9以下なので、
1~9の平方数1・4・9・16・25・36・49・64・81のなかから、
我が100になる組合せを調べると、36+64=100
ア:6、イ:8

@別解@
3:4:5でピタゴラス数となるので、
2倍して6:8:10からa=6、b=8といける。

(4)
【3以上の奇数aの平方数が、連続する2つの自然数b、cの和と等しくなると、
2+b2=c2が成り立つ】
41は奇数なので、a=41が解答の1つ。
もう1つは連続するb・cのうちのいずれかが41。
(例題をみるとcが奇数なので、cが41ではないかと推測しておく)

◆a=41
連続する2つの自然数をn、n+1とおく。
412=n+(n+1)
2n=1680
n=840
(a、b、c)=(41、840、841)

◆borc=41
例題ではcが奇数なので、cに41を当てはめてみる。
bはcの1つ前の数なので40。
2=40+41=81
a=9
(a、b、c)=
(9、40、41)
9、40、41)と(41、840、841)

(5)
整数の証明問題。
連続する3つの自然数はn、n+1、n+2となる。
これらをa、b、cにあてはめる。
2+(n+1)2=(n+2)2
2-2n-3
=(n-3)(n+1)0
nは自然数なのでn>0
n=3
ピタゴラスの定理(三平方の定理)a2+b2=c2において、
a、b、cが連続する自然数でa=3だから、
連続する3つの自然数の組合せからなるピタゴラス数は(3、4、5)

@ピタゴラス数@
整数m、nで、a=m2-n2、b=2mn、c=m2+n2とすると、
なんと、a2+b2=c2が成立するというw(゚ロ゚)w

m=7、n=5
a=72-52=24
b=2・7・5=70
c=72+52=74
242+702=576+4900=5476=742!!
この定理を使うとすべてのピタゴラス数を表せるらしい…。

A問題は基礎ということで、失点を極力抑えるようにしよう。
Bと共通する大問4・6は難しい。
5も連比に落とし込んで面積比を丁寧に計算しなければならず、やりにくさを感じる。
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