2019年度 岡山県公立高校入試問題【数学】解説

平均60.7点
問題はコチラ→PDFファイル

大問1(小問集合)

(1)
-3-(-5)
=-3+5=2

(2)
(-2)×6=-12

(3)
2(a-2b)-(a+b)
=2a-4b-a-b
=a-5b

(4)
9a2b÷3a
=3ab

(5)
(√3+2)(√3-2)
=√32-22=-1

(6)
2+3x-1=0
因数分解ができないので解の公式。
x=(-3±√13)/2

(7)
(1、1)⇒(3、-3)
右に2、下に4なので、傾きは-4/2=-2
y=ax+bに代入して切片bを求める。
1=-2×1+b
b=3
y=-2x+3

(8)
底辺が半径3cmの円、高さ4cmの円柱になる。
3×3×π×4=36πcm3

(9)
立方体なので、側面の6つの正方形は合同。
ACは正方形ABCDの対角線。
BGは正方形BFGCの対角線。
それぞれ合同な正方形の対角線だから、2本の対角線の長さは等しい。

(10)
50個のうち、印アリは5個。
印アリは全てで30個だから、30×50/5=300個

大問2(確率)

(1)
和が5の場合→(4、1)(1、4)(2、3)(3、2)
4通り

(2)①
Bに止まるにはAから5進んだときと、
さらに1周して9進んだ時→9


和が9の場合→(6、3)(3、6)(5、4)(4、5)
4通り。

和が5⇒4通り
和が9⇒4通り
計8通り。

すべての出目の出方は6×6=36通り
8/36=2/9

(3)①
それぞれの頂点に止まる出目の数は…
Aは4・8・12
Bは1・5・9
Cは2・6・10
Dは3・7・11

岡山モノポリークラブより。
教科書の
どこかに載っているはず。
1番多くあらわれるのは、対面の和である7。
次に6・8。次に5・9。
4・10、3・11、2・12と、和が7から遠ざかるにつれて出にくくなる。
最も止まりやすい頂点は、3・7・11のD。


上の表から、和が3と11はそれぞれ2通り。
和が7は6通りで計10通り。
10/36=
5/18


大問3(平面図形)

(1)
BCの垂直二等分線を描き、交点が点Eとなる。

(2)
△AFIと△DFJの合同を証明する。

BI⊥BC、CD⊥BC、BC//IJから、
∠AIF=∠DJF=90°
FはADの中点なので、AF=DF
これに対頂角を組み合わせ、直角三角形の合同条件の1つである、
斜辺と他の1鋭角が等しい点を指摘する。

(3)
ア:QR+TS=2VU

台形RSTQをUを回転の中心として点対称させる。
VUの2倍はこの長方形の横の長さになり、RQ(○)+TS(△)と同じ。

イ:四角形QRST=QT×VU

前問の証明問題と同じ考えを用いる。
合同の直角三角形を作成して移植すると長方形。
長方形の縦がQT、横がVUなので等式が成り立つ。

ウ:五角形PQRST=QT×PX
エ:五角形PQRST=QT×WU
どちらかが間違っている。

ウとエもQTはあるので、QTを1辺とする長方形を考える。
補助線は辺の中点を通過させることを意識しよう。移植後の姿が↑の長方形。
よって、正しくないのはウ。

大問4(整数)

(1)
連続する3つの自然数の和が3の倍数になる理由。
教科書によく載っている証明で、おまけに誘導付き。
最も小さい自然数をnとすると、他はn+1、n+2と表せる。
n+(n+1)+(n+2)
=3n+3=3(n+1)
n+1が自然数だから、3(n+1)は3の倍数。
よって、題意は満たされた。
①…n+2 ②…n+1

(2)
ア:奇+偶+奇=偶になるので×。
イ:偶+奇+偶=奇になるので×。
ウ:先ほどの証明の結果にでた3(n+1)は、中央の自然数n+1を3倍している。○
エ:n+(n+2)=2n+2=2(n+1)。これは中央の自然数の2倍。○
ウ・エ

(3)
連続する3の自然数で、最も小さい数と最も大きい数の積に1を足すと、
中央の数の2乗になる理由。
日本語の部分は問題文に載っているので数式だけ書く。
n(n+2)+1=n2+2n+1=(n+1)2

(4)
前問にあてはめるだけ。
(n+1)2=314
n+1=18
n=17
最小の数が17だから、連続する3つの自然数は17・18・19となる。


大問5(数量変化)

(1)
固定された長方形に直角二等辺三角形が毎秒1cmで突っ込む。
①②③
点CがEF上にあるとき、EF=4cmだから0~4秒。
0≦t≦4
①…4

毎秒1cmの速さで動くので、t秒後の動いた長さはtcm。

CE=EH=tcm
P=t×t×1/2=1/2t2cm2
②…t ③1/2t2

④⑤
2点B、CがEF上にいないとき(4<t<8)
すなわち、長方形の横EFが直角二等辺三角形の辺BC上にあるとき。

CがEから動いた距離はtcm
FI=FC=t-4cm
Pは台形HEFIの面積。
(t+t-4)×4÷2=4t-8cm2
④…t-4 ⑤…4t-8

(2)
BがEF上にあるとき(8≦t≦12)
Pは△ABCから△IFCをひけば良いらしい。

CE=tcm
CF=t-4cm
⑥…t-4


過程を記述する。
P=△ABC-△IFC=8×8×1/2-(t-4)2×1/2
=32-(t2-8t+16)/2
=-1/2t2+4t+24cm2

(3)
いままでのおさらい。計算力も問われる。
①0≦t≦4のとき、P=1/2t2cm2
②4<t<8のとき、P=4t-8cm2
③8≦t≦12のとき、P=-1/2t2+4t+24cm2
P=14を代入してtを求め、tが該当範囲に収まるかを検証する。

①0≦t≦4のとき
1/2t2=14
2=28
t>0から、t=√28=2√7
√4()<√7→√7は2よりも大きい
2√7は2×√7だから、その積は2×2=4よりも大きくなる。
tが4より大きくなるので、0≦t≦4の範囲にない。
つまり、解なし!

②4<t<8
4t-8=14
t=11/2
11/2を小数で表すと5.5なので、4<t<8の条件を満たす。

③8≦t≦12のとき
-1/2t2+4t+24=14
-1/2t2+4t+10=0
2-8t-20=(t+2)(t-10)=0
t=-2、10
8≦t≦12から、t=10

したがって、t=11/2、10

やはり大問3の検地問題が印象的。
台形を長方形に変形させて土地を計測していたんですね(*’ω’*)
大問5は細々とした作業を要求されるが、確実に処理できるかも能力の1つ。
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note書いています(*'ω'*)
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