2025年度　都立高校入試問題・分割後期過去問【数学】解説

問題ＰＤＦ

大問１（小問集合）

（１）
（－３）²×１/９＋６
＝９×１/９＋６
＝７

（２）
（７ａ－ｂ）/２＋（－５ａ＋ｂ）/４
＝｛２（７ａ－ｂ）＋（－５ａ＋ｂ）｝/４
＝（14ａ－２ｂ－５ａ＋ｂ）/４
＝（９ａ－ｂ）/４

（３）
（√３＋８）（√３－１）
＝３－√３＋８√３－８
＝－５＋７√３

（４）
６ｘ－９＝４ｘ＋７
２ｘ＝16
ｘ＝８

（５）
５ｘ＋２ｙ＝－８　…①
ｘ＋６ｙ＝４　…②
①×３－②をすると、14ｘ＝－28
ｘ＝－２
②に代入、－２＋６ｙ＝４
ｙ＝１
ｘ＝－２、ｙ＝１

（６）
ｘ²＋９ｘ＋18
＝（ｘ＋６）（ｘ＋３）＝０
ｘ＝－６、－３

（７）

ア：31人の中央値（Q2）は16番目の８回。９回以上は多くて15人。×
イ：最小値は１回。×
ウ：四分位範囲＝第３四分位数（Q3）－第１四分位数（Q1）。箱の長さは13－４＝９回×
エ：31人のQ1は下位15人の真ん中、下から８番目が４回。〇
エ

（８）

弧ＢＥに対する円周角で、∠ＢＤＥ＝52°
ＡＢは直径→弧ＡＢは半円の弧。
弧ＣＤはその３分の１だから、円周の６分の１に相当する。
∠ＣＯＤ＝360÷６＝60°
∠ＣＢＤはこの円周角だから、60÷２＝30°
△ＢＤＦの内角より、ｘ＝180－（30＋52）＝98°
あ…９、い…８

（９）

ＡＣとＢＣから等距離にある点の集合→∠ＡＣＢの二等分線
これとＡＢとの交点がＰ。

大問２（式の証明）

（１）

円柱の体積Ｖ＝２×２×π×５＝20πｃｍ²
長方形ＯＰＲＱの面積Ｓ＝２×５＝10ｃｍ²
Ｖ÷Ｓ＝20π÷10＝２πだから、Ｖ＝２πＳ
ア

（２）

四角柱の体積Ｖ＝（２ａ）²×ｈ＝４ａ²ｈ　…①
正方形ＡＢＣＤの周の長さℓ＝２ａ×４＝８ａ
長方形ＯＰＲＱの面積Ｓ＝ａｈ
１/２ℓＳ
＝１/２×８ａ×ａｈ
＝４ａ²ｈ　…②
①、②より、Ｖ＝１/２ℓＳ

大問３（関数）

（１）
ｙ＝１/２ｘ²において、
ａ＝０のとき、最小値ｂ＝０
ａ＝－４のとき、最大値ｂ＝８
０≦ｂ≦８
①…エ、②…キ

（２）
ｙ＝１/２ｘ²にｘ＝－６、２を代入。
Ａ（－６、18）→Ｐ（２、２）
右に８、下に16だから、－16/８＝－２
Ｐから左に２、上に４移動して、切片は２＋４＝６
ｙ＝－２ｘ＋６
③…ア、④…イ

（３）

求めたいＰのｘ座標をｔとする。Ｐ（ｔ、１/２ｔ²）
△ＡＰＢ…底辺６、高さ18－１/２ｔ²
△ＡＣＰ…底辺18、高さｔ＋６

△ＡＣＰ＝６△ＡＰＢ（÷２省略）
18（ｔ＋６）＝６×６（18－１/２ｔ²）　←÷18
ｔ＋６＝２（18－１/２ｔ²）
ｔ²＋ｔ－30
＝（ｔ－５）（ｔ＋６）＝０
０＜ｔ＜６より、ｔ＝５

大問４（平面図形）

（１）

50°を錯角で上げる。
∠ＤＡＰ＝180－（ａ＋50）＝130－ａ°
ウ

（２）①
△ＡＱＤ∽△ＰＱＢの証明。
対頂角とＡＤ//ＢＣの錯角→２角相等で∽

②

ＢＰ：ＰＣ＝３：２
平行四辺形の対辺ＡＤ＝５
△ＡＱＤ∽△ＰＱＢより、ＡＱ：ＱＰ＝５：３

△ＡＱＳ∽△ＡＰＲより、ＱＳ：ＰＲ＝５：８

△ＣＰＲ∽△ＣＢＤより、ＢＤ＝８×５/２＝20
方針【四角形ＡＢＣＤ→△ＢＣＤ→△ＢＰＤ→△ＰＳＱ】
四角形ＡＢＣＤの面積を１とする。
△ＰＳＱは四角形ＡＢＣＤの１×１/２×３/５×５/20＝３/40倍
う…３、え…４、お…０

大問５（空間図形）

（１）

△ＡＢＤと△ＣＢＤは２辺が８ｃｍ、共通辺ＢＤ→３辺相等で合同。
∠ＢＡＤ＝∠ＢＣＤ＝90°（△ＡＢＤは直角二等辺三角形）
△ＡＰＤで三平方→ＰＤ＝４√５ｃｍ
か…４、き…５

（２）

Ａから垂線をおろし、足をＦとする。
△ＡＢＤは直角二等辺→ＦはＢＤの中点で△ＡＦＤも直角二等辺。
ＡＦ＝８×１/√２＝４√２ｃｍ
Ｐから垂線をおろし、足をＧとする。
△ＡＦＤ∽△ＰＧＤより、ＰＧ＝４√２×３/８＝３√２/２ｃｍ

三角錐Ｐ―ＢＣＱは底面が△ＢＣＱ、高さがＰＧ。
８×８÷２×３√２/２÷３＝16√２ｃｍ³
く…１、け…６、こ…２