2020年度 鹿児島県公立高校過去問【数学】解説

平均42.3点(前年比+4.1点;普通科に限ると平均49.8点)

問題はコチラ→PDFファイル

大問1(小問集合)-74.4%

(1)① 95.4%
8÷4+6
=2+6=8

② 91.3%
1/2+9/10×5/3
=1/2+3/2=2

③ 85.7%
2√3+√27-3/√3
=2√3+3√3-√3
=4√3

④ 59.4%
aとbの積が負→aとbの一方が正、他方が負。
アが外れる。
cを含むと正→負×負=正なので、cは負。

⑤ 44.9%
立面図が正面、平面図が真上からみた図。
真上の矢印がわかりにくい(;´Д`)
矢印の指している部分が三角柱の後ろ側にあるので、
そちらを下にして見ると逆三角形になるということでア。

(2) 67.9%
反比例;y=a/x
a=2×(-3)=-6
y=-6/x

(3) 60.7%
整数は根号のなかが平方数。
√4<√7→√7は2より大きい。
√31<√36→√31は6より小さい。
この範囲にある整数は、3・4・5。

(4) 82.9%
1~6の周期。
100÷6=16…4
余り4→4

(5) 82.0%
独特臭はするが…問題はいたってシンプル。
1.5倍したとき、最も標高の高い宮之浦岳(1936m)を超える→□×3/2>1936
□=1936×2/3=1290.6…m
これよりも高いものを選べばいい。

イ・ウ・キ
*韓国岳は〔カンコクダケ〕ではなく、〔カラクニダケ〕と読むそうです。
名称の由来は朝鮮半島を眺められるほどの山だから…という話がありますが、
実際に登ってもまったく見れないという(; ̄Д ̄)
他に、大陸からやってきた渡来人に縁をもつ説がありました。

大問2(小問集合2)-51.4%

(1) 64.2%

∠ABC=(180-42)÷2=69°
Bを通る平行線をひき、錯角47°を上にあげる。
∠ABD=69-47=22°
これをさらに錯角であげ、x=22°

(2) 35.6%
条件の把握は正確に!(‘Д’)
200ポイントとなる場合を考える。
①硬貨1枚だけが表、当たりをひくと1×200=200ポイント
2枚の硬貨の結果は22=4通り
そのうち、1枚が表になるパターンは2通りなので、確率は2/4=1/2
2本のくじから1本の当たりをひく確率は1/2
1/2×1/2=1/4
②硬貨が2枚とも表、外れをひくと2×100=200ポイント
1/4×1/2=1/8
したがって、1/4+1/8=3/8

(3) 43.8%
比例式。
x:(4x-1)=1:x
外項と内項の積より、
2=4x-1
2-4x+1=0
因数分解ができないので解の公式。
xの係数が偶数だから、b=2b’が使える。
x=2±√3

(4) 39.9%

①ABCを通る円の作図。AB、BCの垂直二等分線→交点が円の中心
②∠ABCの二等分線
③弧ACとの交点がDとなる。

(5) 71.1%
連立方程式。過程も記述する。
x+y=50 …①
x/2+y/3=23 …②
分母を払うため、②を6倍すると、
3x+2y=138 …③

③-①×2
 3x+2y=138
-)
2x+2y=100
 x    =38
①に代入。y=50-38=12
したがって、Aは38本、Bは12本。


大問3(標本調査)-42.8%

(1) 28.6%!
B組とC組の平均点=B組とC組の総和÷50人
総和は、20×54+30×65=3030点
3030点÷50人=60.6点

(2)① 77.6%
パっと見てヒストグラムの面積が広い、③が30人いるC。
①と②を比べると、②は左に偏っているので、平均の低いBが②と推測する。
中央値で確かめる。20人のメジアンは10番目と11番目の平均。
②の10番目は40~50、11番目は50~60の階級に含まれるので、
Dの61.5ではなく、Bの49.0が中央値として適当といえる。
まとめると、Bが②、Cが③、Dが①。
ア…③ イ…①

② 39.3%
階級値に直して、ひたすら計算(´Д`)ヒィ-
35×4+45×6+55×5+65×6+75×6+85×3
=140+270+275+390+450=1780
1780÷30=59.33…→59.3点

(3) 13.9%!!
10番目をX、11番目をYとする。
20人のメジアンはXとYの平均値で49点。
XとYの差が4点ということは、平均から2点ずつ離れ、
10番目のXは47点、11番目のYは51点となる。

21人の中央値は11番目。
欠席者は76点なので、11番目はYの51点。

大問4(平面図形)-20.1%


今年は観覧車のゴンドラでした(*’ω’*)
(1)ア…75.2%、イ…9.0%!!
中心角360°を36等分する。
∠XOY=360÷36=10°(ア)

1周15分→5分間で120°(3分の1)回転する。
30°-60°-90°の直角三角形から、30×√3/2×2=30√3m(イ)

(2) 15.0%!
円周角定理の証明。

半径から△OACは二等辺。
∠OAC=∠OCA=とする。
△OACの外角定理で、∠AOB=●●となり、
∠ACB=1/2∠AOBが成り立つ。

(3)① 7.2%!!

ゴンドラの位置は正確に!ここで失敗するとどうしようもない:(っ`ω´c):
(1)イより、∠PQR=30°
直径に対する円周角は直角→∠QPR=90°
△PQRの内角は30°-60°ー90°

観覧車は時計回りにまわるとして、QR//P’R’となるには何度回転させればよいのだろう? 


とりあえず、平行になるよう適当に描いてみる。
ポイントは直径QRの中点が中心Oであり、Q’R’の中点もOであること!
同位角で∠Q’OR=60°
△OPRは半径より二等辺。∠ORP=∠OPR=60°
残りの角度である∠POR=60°で△PORは正三角形。
∠Q’OR=∠POR=60°ということは、Q’とPは一致する

Q’の反対側がR’で、P’はR’から右に6個目の点。
回転先は赤いP’Q’R’になる。

回転の角度は∠QOQ’に着目して120°
観覧車は15分で1周360°まわるので、120°は5分(t=5)

② 2.1%!!

△PQP’は正三角形になる。
すでに(1)イで見た形である(;^ω^)
△PQOの面積を3倍すればいい。
30√3×15÷2×3=675√3m2


大問5(関数)-18.9%

(1) 69.8%
y=1/2x2にx=2を代入。

y=1/2×22=2
Q(2、2)

(2) 18.8%!
P・Q・R、すべてx座標はt。
QRの距離は、、
1/2t2-(-t2)=3/2t2

3/2t2=27/8 ←27も8も立法数!
t>0より、t=3/2

(3)① 7.7%!!

△OSRが直角二等辺三角形→∠ORS=45°
ORは赤枠の正方形の対角線→ORの傾きはー1→y=-x
Rはy=-x2とy=-xの交点
-x2=-x
2-x=x(x-1)=0
x>0から、x=1
R(1、-1)

② 1.0%!!!
過程も記述する。
手法は回転体の問題でよくあるパターンなので処理能力がものをいう。
以下、公式解答を参考。

t=1より、Q(1、1/2)R(1、-1)
QR=3/2

T座標は、y=1/2x2とy=-xの交点。
1/2x2=-x ←両辺を2倍して移項
2+2x=x(x+2)=0
x=0、-2
Tのx座標は負なので、T(-2、2)

三平方でTRの長さを求める。
y=-xの傾きは-145度線→1:1:√2でTR=3√2

QからTRに向けて垂線、その足をHとする。
△QHRは直角二等辺なので、同様に1:1:√2でQH=3/2√2
よって、(3/2√2)2×π×3√2×1/3=9√2/8

以下、公式の検査結果を引用。
大問1
(1)④イの誤答が多かった。
⑤ウの誤答。立面図と平面図を逆にしないように!
立っている面=立面図は横(正面)。上からみて平面図。
(3)-3、-4、-5や9、16、25の誤答。
(5)正答者は8割超◎誤答はウを抜かしたり、オを含めたり。
大問2
(2)誤答は多種あったが1/3が目立った。
(3)誤答は-2±√3,2±2√3が多い。
(4)円の中心を点Dとする誤答が見られた。
大問3
(1)平均が悪い…(;´・ω・)小学生でもできるよ!
(2)②計算ミス注意!
(3)誤答例は47、52、55、65など。無回答も多かった。
数直線上では、平均値(メジアン)から等距離に10番目と11番目がいる。
大問4
問題文をダラダラ読んでいると時間がかかる。
(1)イ;1周15分→5分後のゴンドラは1/3周→中心角は120度→有名な直角三角形を想起。
誤答は120πが多し。
(3)作図力が問われる。幾何の基本は作図!
図形を何度回転させるか、最初は正確な作図ができないので難しい。
この手の問題はだいたいスッキリとした図になる。
①誤答は60度、t=2などが多く、無回答も多かった。
大問5
(2)3√3/4の誤答。
(3)①(2、-4)や(1、1)の誤答が目立った。
②無回答が多かったそうだ。
時間があれば正解率は上がったはず。
最後に記述が出てくるのは精神的にもツライ(;´・ω・)
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