2024年度 都立高校入試問題過去問【数学】解説

問題はコチラ→PDFファイル

大問1(小問集合)

(1)
-62×1/9-4
=-36×1/9-4
=-8

(2)
2a+b-(5a+b)/3
={2a×3+3b-(5a+b)}/3
=(6a+3b-5a-b)/3
=(a+2b)/3

(3)
(√7-1)(√7+6)
=7+6√7-√7-6
=1+5√7

(4)
2x-8=-x+4
3x=12
x=4

(5)
5x+7y=9 …①
3x+4y=6 …②
①×3-②×5をすると、y=-3
②に代入、3x+4×(-3)=6
x=6
x=6、y=-3

(6)
(x-8)=1
x-8=±1
x=8±1=7、9

(7)

ア:Cの最大値は30mを超えない。×
イ:最大値が最も大きいB組にいる。×
ウ:15mはいずれも範囲内だから、15mの生徒がいる可能性はある。×
 範囲(レンジ)=最大値-最小値
エ:四分位範囲=第3四分位数(Q3)-第1四分位数(Q1)
 箱の長さが最も短いのはB組。〇

(8)

弧AC=②とすると、弧AB=⑤
弧CB=⑤-②=③
ABとCDは中心Oを通る直径→対称性からBD=②、AD=③

BEに補助線。
直径ABに対する円周角より、∠AEB=90°
円周角の大きさは弧の長さに比例するので、x=90×②/⑤=36°
あ…3、い…6

(9)

『PはABとADから等距離にある』→∠BADの二等分線
BCとの交点がPとなる。


大問2(式の証明)

(1)

仮定よりCB=BD、平行四辺形の対辺は等しいからBD=AE
対角線ADで平行四辺形を分けると、高さと底辺共通からが等積。
四角形AEDCの面積は△ABCの3倍。
う…3

(2)

AF=ax、FG=AB=a
四角形AFHCは長方形→CH=AF=ax
四角形AGHCの面積は、(ax+ax+a)×b÷2
=1/2b(2ax+a)
=1/2ab(2x+1) …①

同様に四角形ABJKの面積は、(bx+bx+b)×a÷2
=1/2a(2bx+b)
=1/2ab(2x+1) …②
①、②より、四角形AGHCと四角形ABJKは等積である。

@余談@

等積だけの指摘であれば、面積が増加する平行四辺形に絞るとわかりやすい。
平行四辺形の面積はax×b=bx×a=
abxと同じである。

大問3(関数)

(1)
y=1/4x2において、
x=0のとき、最小値y=0
x=-3のとき、最大値y=9/4
0≦b≦9/4
①…エ、②…ク

(2)
y=1/4x2にx=-6を代入→A(-6、9)
同様にx=2を代入して、P(2、1)
QはPのy座標に4を足す→Q(2、5)

A(-6、9)→Q(2、5)
右に8、下に4なので、傾きは-4/8=-1/2
Qから左に2、上に1移動して、切片は5+1=6
y=-1/2x+6
③…ウ、④…ア

(3)

求めるべきPのx座標をtとする。
P(t、1/4t2
)→Q(t、1/4t2+4)
△PQRの面積…4t(÷2を省略しています)
△AORの面積は4t×3=12t、RO=12t÷6=2t

Rから右へ垂線をひき、足をSとする。
QRの傾きは1/2→Rから右にt、上に1/2t移動してQだから、QS=1/2t
Qのy座標は、2t+1/2t=5/2t

Qのy座標で方程式を立てると、
1/4t2+4=5/2t ←4倍
2-10t+16
=(t-2)(t-8)=0
t>3だから、t=8

@余談@
答えから各座標を調べると、PとSは一致します。


大問4(平面図形)

(1)

AB=BM、∠ABM=90°より、△ABMは直角二等辺三角形
∠BAM=∠MAQ=45°
AM//QPの同位角で、∠PQD=a
∠MQP=180-(45+a)=135-a

(2)①
△BMR∽△DQTの証明。

BM//QDの錯角より、∠MBR=∠QDT
AM//QPの同位角→対頂角とつなげて、∠BRM=∠DTQ
2角が等しいから∽。



MP:PC=
MはBCの中点だから、BM=
平行四角形AMPQの対辺からAQ=→QD=

先ほどの△BMR∽△DQTから、RM:TQ=4:5
△SRM∽△STQより、RS:ST=④:⑤

△ARD∽△QTDより、RD=⑨×8/3=㉔

△ARD∽△MBRより、BD=㉔×12/8=㊱
したがって、ST:BD=5:36
え…5、お…3、か…6

大問5(空間図形)

(1)

△ABCは二等辺三角形。
Mは底辺ABの中点→AB⊥CM
Mの真下をNとすると、BM⊥面MNFC
Pは面MNFC上の点だから、∠BMP=90°
き…9、く…0
(面MNFC上の点であれば、たとえば∠BMFも90°である)

(2)

CF//面ADEBより、P―ADEBをC―ADEBに等積変形する。


△AMCは3:4:5の直角三角形→CM=4cm
C―ADEBの体積は、底面ADEB×高さCM÷3
=6×6×4÷3=48cm3
け…4、こ…8


易化です。(とくに図形分野)
大問1
計算は全部とる。
(6)いきなり展開しない。
(7)箱ひげ図は都立で初登場したが、設問は平易であった。
37人の中央値は19番目、第1四分位数は下から10番目、第3四分位数は上から10番目である。
(8)対頂角のように弧の長さを移す。
(9)作図もよくある形で取りやすい。
大問2
(2)xさえ図示できれば、台形の面積を文字で表すのみ。
立式しやすいかった。
大問3
(3)流れは例年通り。求めたいPのx座標を文字に置き換え、各座標を文字で表す。
三角形の面積比からR座標がわかる。傾き1/2を使って、PではなくQのy座標で方程式を立てる。
大問4
(2)①比較的見えやすい証明であった。
②構造が連比なので比の合成で良い。前問の合同を使うと先の解説のようになる。
大問5
(1)辺と面の関係性(垂直)を把握する。
(2)ラス問も見えやすかった。
底面はADEB、立体の高さは二等辺の高さ。分割も控除も不要であった。
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