2022年度　高知県公立高校入試Ａ日程過去問【数学】解説

平均16.2点（前年比；－4.9点）

満点は０人、０点は79人。
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大問１（小問集合）

（１）①　94.4％
３＋（－６）－（－８）
＝３－６＋８
＝５

②　76.5％
（５ｘ－ｙ）/３－（ｘ－ｙ）/２
＝｛２（５ｘ－ｙ）－３（ｘ－ｙ）｝/６
＝（10ｘ－２ｙ－３ｘ＋３ｙ）/６
＝（７ｘ＋ｙ）/６

③　61.9％
８ａ²ｂ÷（－２ａ³ｂ²）×（－３ａ）
＝12/ｂ

④　78.5％
12/√６＋３√３×（－√２）
＝２√６－３√６
＝－√６

（２）　31.1％！
スキー経験者は男子２/５ａ人、女子１/４ｂ人でこの和が35人。
２/５ａ＋１/４ｂ＝35　←両辺を20倍
８ａ＋５ｂ＝700
５ｂ＝－８ａ＋700
ｂ＝－８/５ａ＋140

（３）　37.4％

ｘ＞０のとき、ｘの値が増加するとｙの値が減少するのはアとエ。

（４）　16.2％！（部分点2.3％）
解の公式ではなく、平方完成を余儀なくされる(´д｀)
ｘ²＋２ｘ－14
＝ｘ²＋２ｘ＋１－１－14
＝（ｘ＋１）²－１－14＝０
（ｘ＋１）²＝15
ｘ＋１＝±√15
ｘ＝－１±√15

（５）　42.7％
ｙ＝３ｘ²は下に凸のグラフ。
ｘ＝０のとき、最小値ｙ＝０
ｘ＝１のとき、ｙ＝３だから、ｘ＝ａ（ａ＜０）のとき、最大値ｙ＝12。
12＝３ａ²
ａ²＝４
ａ＜０なので、ａ＝－２

（６）　51.5％

角度の情報がいっぱい…円に内接するだろうと予想する。
△ＡＢＤの内角より、∠ＡＤＢ＝180－（90＋34）＝56°
点Ｃと点ＤがＡＢに対して同じ側にあって、∠ＡＣＢ＝∠ＡＤＢ＝56°だから、
円周角定理の逆から４点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄは同一円周上にある⇒やはり内接してました。

弧ＡＤに対する円周角で、∠ＡＣＤ＝34°
△ＣＤＥで外角定理→∠ＣＤＥ＝80－34＝46°

（７）　62.7％
200ｃｍ以上230ｃｍ未満は、８＋13＋９＝30人
30÷50＝30/50＝60/100＝60％

（８）　14.9％！（部分点０％）

『２辺ＡＢ、ＡＣから等しい距離にある』⇒①∠ＢＡＣの二等分線
『２点Ａ、Ｂから等しい距離にある』⇒②ＡＢの垂直二等分線
これらの交点がＰである。

大問２（規則）

（１）　25.0％！（部分点3.5％）

左上をｘとすると、右上はｘ＋２、左下はｘ＋３、右下はｘ＋５になる。
【右上×左下－左上×右下＝６】
（ｘ＋２）（ｘ＋３）－ｘ（ｘ＋５）
＝ｘ²＋５ｘ＋６－ｘ²－５ｘ
＝６
したがって、右上の数と左下の数の積から、左上の数と右下の数の積を引くと６になる。

（２）　4.0％!!

５行目４列目は１から出発して下に４つ、右に３つ移動する。
ｍ行目ｎ列目は１から下に（ｍ－１）、右に（ｎ－１）移動する。
１＋３（ｍ－１）＋２（ｎ－１）
＝３ｍ＋２ｎ－４

（３）　11.4％！
４つの数の最大数をｘとすると、４つの数はｘ－９、ｘ－６、ｘ－３、ｘ。
（ｘ－９）＋（ｘ－６）＋（ｘ－３）＋ｘ
＝４ｘ－18＝222
ｘ＝60
60は何行目にあるか。
５行目は９から始まる公差３の等差数列だから、
（60－９）÷３＋１＝18行目

＠別解＠
前問の数式にｎ＝５を代入しても解ける。
３ｍ＋２×５－４＝60
ｍ＝18

大問３（確率）

（１）　25.0％！
１回目の出目をｘ、２回目の出目をｙとする。
１≦ｘ,ｙ≦６
こまが進む数はｘ＋３ｙ。
その最大数は（ｘ、ｙ）＝６を代入して、６＋３×６＝24マス
このうち、こまが〔あ〕に止まるのは、ｘ＋３ｙの値が５・10・15・20のどれか。

◆ｘ＋３ｙ＝５
ｙで場合分けすると見えやすい。
ｙ＝１
◆ｘ＋３ｙ＝10
ｙ＝３、２
（*ｙ＝１だとｘ＝７となり、６を超えるから不適）
◆ｘ＋３ｙ＝15
ｙ＝４、３
（*ｙ＝５だとｘ＝０で不適）
◆ｘ＋３ｙ＝20
ｙ＝６、５
計７通り。
全体は６×６＝36通りなので、確率は７/36。

（２）　19.2％！
１回目に何かを出してどこかのマスに止まる。
２回目は出目を３倍するが、前問でみた通り、同じマスに止まるのは５の倍数である。
１～６を３倍して５の倍数を出すには、５を出すしかない。
こまが異なるマスに止まるには、５以外を出せばいいので５/６。

大問４（数量変化）

（１）　22.5％！

△ＢＰＱは直角二等辺三角形で辺の比は１：１：√２。
ＡＢ＝３√２なので、ｘ＝３のとき、直線ℓはちょうど点Ａを通る。
また、仮定のＢＣ＝ＣＤ、∠ＢＣＤ＝90°より△ＢＣＤも直角二等辺で、
∠ＣＢＤ＝45°から△ＢＲＰも直角二等辺である。
ＢＰ＝ＱＰ＝ＰＲ＝３ｃｍだから、ｙ（ＱＲ）＝６

（２）　0.0％!!!（無答52.5％）

ｘ＝６のとき、ＰはＢＤの中点にくる。（ＲはＣと重なる）
△ＢＣＰ（と△ＤＣＰ）も直角二等辺なので、ＰＣ＝６ｃｍ
あとはＱＰがわかれば、ｙの値（ＱＣ）が求まる。

ＢＤ上の長さを確定。
赤線の相似を用いて、ＱＰ＝３×６/９＝２ｃｍ
ＱＣ＝２＋６＝８ｃｍ

ｘ＝３のとき、ｙ＝６
ｘ＝６のとき、ｙ＝８
ＡＤとＢＣが直線であることから、３≦ｘ≦６ではＱＲの長さは一次関数で増加する。
変化の割合は、（８－６）÷（６－３）＝２/３
ｙ＝２/３ｘ＋ｂに（ｘ、ｙ）＝（３、６）を代入して、
６＝２/３×３＋ｂ
ｂ＝４
ｙ＝２/３ｘ＋４

（３） 2.3%!!（無答56.8％）

０≦ｘ≦３はｙ（ＱＲの長さ）が増加して、ｘ＝３のときにｙ＝６
３≦ｘ≦６はｙが増加して、ｘ＝６のときにｙ＝８
６≦ｘ≦12はｙが減少して、ｘ＝12のときにｙ＝０
ということは、０≦ｘ≦３と６≦ｘ≦12にｙ＝４が１つずつある。

０≦ｘ≦３のときはＢＰ＝ＱＰ＝ＰＲから、ｙ（ＱＲ）＝２ｘ
ｙ＝４を代入して、２ｘ＝４
ｘ＝２

６≦ｘ≦12
ｘ＝６のときの交点をＰ、Ｑ、Ｒ、
ｙ＝４のときの交点をＰ’、Ｑ’、Ｒ’とする。
赤線で相似を使うと、ＱＲ：Ｑ’Ｒ’＝２：１だからＰ’はＰＤの中点である。
ｘ＝６＋３＝９
したがって、ｘ＝２、９

大問５（関数）

（１）　53.5％
ｙ＝ａｘ²に（ｘ、ｙ）＝（６、12）を代入。
12＝36ａ
ａ＝１/３

（２）　32.1％！
ｙ＝２ｘ²にｘ＝－２を代入して、Ｂ（－２、８）
Ｂ（－２、８）⇒Ａ（６、12)
右に８、上に４だから、傾きは４/８＝１/２
Ｂから右に２、上に１移動して、切片は８＋１＝９
ｙ＝１/２ｘ＋９

（３）　0.3％!!!（無答57.3％）

Ｃは直線ＡＢの切片だから、Ｃ（０、９）
ＡＢの中点をＤとする。Ｄのｘ座標は、｛６＋（－２）｝÷２＝２
△ＯＤＢは△ＯＡＢの面積の半分。
△ＯＤＢ＝△ＯＣＢ＋△ＯＤＣ
△ＯＤＣを変形してＤをＯＡ上へ移動させると、△ＯＡＢの二等分線がＣを通過する。

Ｄを通るｙ軸に平行な直線をひき、ＯＡとの交点をＥとする。
△ＯＤＣを△ＯＥＣに等積変形すると、△ＯＡＢの二等分線はＣＥとなる。
ＯＡの式がｙ＝２ｘなので、Ｅ（２、４）
Ｃ（０、９）⇒Ｅ（２、４）
右に２、下に５だから、傾きは－５/２。

大問６（平面図形）

（１）　1.0％!!!（部分点32.8％）
△ＡＢＧ≡△ＣＤＨの証明。

平行四辺形の対辺は等しいから、ＡＢ＝ＣＤ
ＡＢ//ＤＣの錯角で、∠ＢＡＧ＝∠ＤＣＨ
ここまではたどり着きやすいが、もう１つの等角がなかなか指摘しにくい。

対頂角で、∠ＡＧＢ＝∠ＥＧＨ（×）
ＢＥ//ＦＤの同位角で、∠ＣＨＤ＝×
△ＡＢＧと△ＣＤＨの残りの角は等しく、∠ＡＢＧ＝∠ＣＤＨ（★）
１辺と両端角が等しいから合同。

（２）　1.0％!!!（無答45.5％）

ＡＥ：ＥＤ＝①：②
四角形ＥＢＦＤは２組の対辺が平行だから平行四辺形。
ＢＦ＝②、ＦＣ＝①

ＢＥ//ＦＩより、ＢＦ：ＦＣ＝ＧＨ：ＨＣ＝ＥＩ：ＩＣ＝２：１
（ＧＨ＝②、ＨＣ＝①、ＥＩ＝②、ＩＣ＝①とする）
また、図形全体が点対称なので、対称性からＡＧ＝ＣＨ＝①
高さが等しい三角形に着目して、図形を切り崩していく。
【平行四辺形ＡＢＣＤ→△ＡＣＤ→△ＡＣＥ（赤）→△ＩＨＣ（青緑）】
*最後は隣辺比を使う。
１×１/２×①/③×（①×①）/（④×③）＝１/72
平行四辺形ＡＢＣＤの面積は△ＩＨＣの72倍。