2022年度 長崎県公立高校入試問題過去問【数学】解説

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大問1(小問集合)

(1)
5-3×(-2)2
=5-3×4
=5-12
=-7

(2)
(√3+1)2-6/√3
=4+2√3-2√3
=4

(3)
2x(x-1)-3=x2
2x2-2x-3=x2
2-2x-3
=(x+1)(x-3)=0
x=-1、3

(4)
acmの紙テープから5bcmを切ると3cmになった。
a-5b=3

(5)
反比例はxとyの積が比例定数aで一定。
a=2×6=12
y=12/x

(6)
①:√(-2)2=√4=2 〇
②:2乗して9になる数が9の平方根。±3を2乗すると9。〇
③:√16=4 ×
④:(√5)2=5。2乗すると根号が取れる。〇

(7)
当たりくじをひく確率は50本中4本。
1000×4/50=80本

(8)
半径は等しいから二等辺三角形。
180-36×2=108°

(9)
回転体は底面が半径2cmの円、高さ3cmの円錐。
2×2×π×3÷3=4πcm3

(10)

中心角が1:3であれば、弧の長さも1:3になる。
ABの垂直二等分線⇒左側の90°の二等分線。これと半円の弧との交点がPである。

大問2(データの活用&確率)

問1(1)
ありがたいことに平均点の情報が与えられている。
35人の中央値(メジアン)は18番目の値で8点。
最頻値(モード)は最もあらわれている値で10点。
平均値7.6点<中央値8点<最頻値10点

(2)
8点未満の生徒の合計点と8点超の生徒の合計点を均すと、平均点の8点になる
8点未満…3点(8点の5点下)が1人、4点(8点の4点下)が1人…と計算していくと、
 -5×1+(-4)×1+(-3)×2+(-2)×3+(-1)×5=-26点
8点超…10点(8点の2点上)の生徒だけを計算すると、2×8=16点
 -26+16=-10点
9点(8点の1点上)が10人いれば平均点が8点になる→9点は10人
8点の生徒は、35-(1+1+2+3+5+10+8)=5人

問2(1)
答案では、起こりうるすべての場合をあげ、「同様に確からしい」の用語を用いる。
硬貨Aと硬貨Bを1回投げて起こりうるすべての場合は、
〔表、表〕〔表、裏〕〔裏、表〕〔裏、裏〕は4通りで、
いずれが出ることも同様に確からしい。
2枚とも表は1通りだから、確率は1/4。

(2)
すべての場合は、23=8通り
硬貨A・B・Cの3枚から1枚の裏を選ぶ。31=3通り
確率は3/8。

(3)
全体は、24=16通り
1枚以上が表=全体-すべて裏
4枚すべてが裏になる場合は1通りで確率は1/16。
1枚以上が表は、1-1/16=
15/16


大問3(関数)

(1)
y=x2にx=-2を代入して、
y=(-2)2=4

(2)
同様にx=1を代入すると、B(1、1)
A(-2、4)⇒B(1、1)
右に3、下に3だから、傾きは-3/3=-1
Bから左に1、上に1移動して切片は2。
y=-x+2

(3)

y軸に平行な直線で等積変形すると、底辺が3、高さ2の三角形。
3×2÷2=3

(4)①

AO;y=-2x
これにQのy座標1を代入すると、x=-1/2
Q(-1/2、1)
△OBQは底辺QB=3/2、高さPO=1の三角形だから、
3/2×1÷2=3/4


(3)より△OABの面積は3だから、2等分した面積が3/2になればいい

△AQBの底辺QBと高さの比に注目すると、底辺:高さ=3/2:3=①:②
直線lを上に平行移動させると、どこかで三角形の面積が3/2になる。
そして、平行から底辺:高さの比の①:②は維持される

Aからおろした垂線と直線lの交点をRとする。
面積が3/2になった三角形の底辺をxとすると、高さはAR=2x
x×2x÷2=3/2
2=3/2
x>0より、x=√6/2
ARの長さは、2x=√6/2×2=√6
tの値はRのy座標と同じだから、t=4-√6

大問4(空間図形)

(1)

ねじれの位置→平行ではない、かつ延長しても交わらない。
AかDを含む③辺CDと④辺AEは×。
AD//EHで①辺EHも×。
②辺BF

(2)
上下の面+4つの側面
=2×4×2+(4+2)×2×3
=52cm2
*側面は展開図になおしたときの長い長方形。

(3)①

うしろの三角柱に残りの頂点A・B・Dを記入する。
DF=6cm



最短距離なので展開図を作成。
△PBC∽△FBEより、PC=2×4/10=4/5cm


大問5(平面図形)

(1)

半径OB=5cm
CD=(10-4)÷2=3cm
OD=5-3=2cm

(2)

△ODEで三平方→DE=√21cm

(3)
誘導に従う。
 
OE=OF、∠OED=∠ODF=90°、共通辺OD。
直角三角形の(ア)斜辺と他の1辺が等しいから、△OED≡△OFD。

先ほどの合同より対応する辺は等しいので、DE=DF
∠BDE=∠CDF=90°、BD=CDとあわせて、
(イ)2辺とあいだの角が等しいから、△BDE≡△CDF

対応する角は等しいので、∠BED=∠CFD
(ウ)錯角が等しいからEB//GF
ア…斜辺と他の1辺、イ…2辺とあいだの角、ウ…錯角

(4)

直径に対する円周角は90°だから、∠AEB=90°

EB//GFの同位角から∠AGF=90°に注目したくなるが、
AGとGFの長さを出すのが面倒くさい。
前問の証明からDF=DE=√21cm
この時点で下の△ACFの面積が、4×√21÷2=2√2cm2とでるので、
あとは上の△AGCの面積がわかればいい

△AEBの面積は、10×√21÷2=5√21cm2
2角が等しく、△AGC∽△AEB
AC:AB=4:10=2:5
面積比は相似比の2乗、△AGC:△AEB=22:52:=4:25
△AGCの面積は、5√21×4/25=4√21/5cm2
したがって、△AFGの面積は、4√21/5+2√21=14√21/5cm2

大問6(整数)

(1)
202+2×4=210(ア)

もう2回操作を行う。
21+0×4=21
2+1×4=6(イ)

20回すべて行う必要はないが、6が出てくるまでやり続ける(´°ω°`;)
2022から操作後の数字を並べてみると、
【210→21→→24→18→33→15→21→
6が登場するのは3回目。その次が9回目。
周期的にあらわれるので、その次は15回目。
よって、6は3回出現する。(ウ)

最初の1回を除き、【21→6→24→18→33→15…】が繰り返される。
(1000-1)÷6=166…3
余りの3は【21→6→24】だから24。(エ)
ア…210、イ…6、ウ…3、エ…24

(2)①
十の位がa、一の位がb。
一の位bを取り除いた数はa。これにbを4倍した数4bを加える。
a+4b(オ)

10a+b=a+4b
これをbについて解くと、
b=3a(カ)
オ…a+4b、カ…3a


aとbは位の数なので、0<a,b<9
先ほどのb=3aから、(a、b)=(1、3)(2、6)(3、9)
よって、13、26、39。
(*いずれも13の倍数である)

(3)
問題文の内容を整理する。

操作前の一の位がc、それ以外がX。
この数は10X+cで表され、13の倍数だから10X+c=13m
操作後の数はX+4cとなり、これが13の倍数であることを示す。
最終的にX+4cを自然数mを用いて、13でくくる形にもっていく

10X+c=13mをcについて解くと、
c=13m-10X
これを操作後のcに代入する。
X+4c

=X+4(13m-10X)
=52m-39X
=13(4m-3X)
4m-3Xは自然数だから、13(4m-3X)は13の倍数である。
したがって、13の倍数に【操作】を1回行った後の数は13の倍数となる。


大問1
後半に嫌な問題があるので、ここは迅速に解きたい。
(6)②と③の違いに注意!
(10)PはA寄りにくる。
大問2
(1)②平均より上と下を相殺するには9点が何人いるか。計算処理は正確に。
(2)①同様に確からしいが記述で登場するなんて(*´Д`)
②3枚の中から裏になる1枚を選ぶ。
大問3
(1)~(3)ここまでは速攻で処理。
(4)②変な解き方で申し訳ない。。
直線lがx軸からどれほど離れているか→上の三角形の高さがわかればいい。
三角形の面積が判明しているので、底辺と高さの比から高さを算出した。
大問4
(3)①頂点や長さを図に書き込もう。
②オーソドックスな問題で、ここの大問はとりやすかった。
大問5
(3)空欄補充で誘導に従えばいいが、少々長いので時間をとられないようにしたい。
(4)難所。直角ばかりに目が行くと泥沼にはまる。
下半分がすぐわかる。ここから△AFGを分割する発想に向かえば上半分は相似で決着する。
大問6
まとまったリード文なので、時間を確保しておかないと解ききれない。
設問が連続しており、前半でミスすると失点を重ねるので注意。
(1)高得点をとるには操作内容をなるべく短時間で理解したい。
エ:周期さえわかれば規則の基本レベル。
(2)解いたことのない設定に対しても、誘導に従って忠実に処理できるようにしたい。
①aとbは0~9の範囲。
(3)最後に整数の証明が出題された。
典型問題ではないので、内容を理解しないと何をすべきかわからない。
13(〇m+△)の形になれば13の倍数であると指摘できる。
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コメント

  1. tahara より:

    X+4c
    =X+4(13m-10X)
    =52m-39X
    =13(4m-3)
    4m-3は自然数だから、13(4m-3)は13の倍数である。

    =13(4m-3X)
    では?

    • 家庭教師サボ より:

      コメントありがとうございます。
      途中でXが消えてますね…。
      修正しました。ご指摘ありがとうございました。

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