2017年度 埼玉県公立高校入試【数学】解説

平均44.4点

学校選択ではない方です。
できるところは手早く処理して、難しい問題にシンキングタイムを残しておきましょう。
問題はコチラから→PDFファイル

大問1(小問集合)

(1) 98.9%
10x-7x=3x(サービス問題!

(2) 97.3%
(-2)×4+1
=-8+1=-7

(3) 62.9%
9a2÷3ab×(-b)
=-3a

(4) 72.4%
√8+2/√2
=2√2+2√2/2
=2√2+√2=3√2

(5) 77.7%
2-13x+36
=(x-4)(x-9)

(6) 86.7%
連立方程式、
2つ目の式を3倍してyを消すのがやりやすいかな?
x=-1、y=2

(7) 66.3%
(x+4)2-5=0
(x+4)2=5
x+4=±√5
x=-4±√5

一度かっこ内を展開して、解の公式を利用してもいい。
b’公式だと若干ショートカットできる。

(8) 48.8%
ℓ=2(a+b)
ℓ=2a+2b
2b=ℓ-2a
b=(ℓ-2a)/2(=ℓ/2-a)

(9) 76.5%
時間=道のり÷速さ。シンプル過ぎて逆にビビる。
y=1500/x

(10) 31.2%!
グラフ上でa≦x≦a+2をイメージしながら代入してみる。
y=0ということは原点に触れていなければならない。
y=4はx=-2か2に触れていなければならない。
ア・ウ

(11) 61.5%
3種類→ABCが3つ異なる→3×2=6通り
2種類→ACが同じ、Bだけ異なる→AC3通り×B2通り=6通り
6+6=12通り

(12) 1.9%!!
平行四辺形の横の辺の長さがわかっていない。
縦の長さから相似をつかって横方向の辺の比を見つける。
△EBF:△CFD=EB:CD=6:10=3:5
よって、EF:FC=3:5
EG:GB=3:5
EG=6×3/8=9/4cm

大問2(小問集合2)

(1) 23.8%!
千葉の作図より楽チン。
円周角の定理を用いる。直径に対する円周角は常に直角である。
ABを直径とする円を描き、円周とℓの交点がPとなる。

(2) 34.0%
面倒くさい(´Д`)
わかりやすい最頻値からウを除外。
40人の中央値は20人目と21人目の平均。地道に足して調べていく。
イの中央値は8となり不適。平均値を求める。
ア:(6×1+7×5+8×14+9×9+10×11)÷20=8.6点×
エ:(4×1+6×2+7×4+8×13+9×12+10×8)÷20=8.4点〇

(3) 1.3%!!
シンプルな図形だが一筋縄ではいかない。
扇形があるので半径を知りたいところだが、ちょっと迂回する必要がある。
AOとBOに補助線。△AOD≡△AOE、△BOE≡△BOCとなる。
理由は台形の1内角と円の接線から直角で、AOとBOは共通辺で各々の直角三角形の斜辺となる。
円の半径は等しいから、直角三角形の合同条件である斜辺と他の1辺が等しくなるから。
AB=3+9=12cm
DAを延長、BCに垂直な線分で、これらの交点をFとする。

△AFBで三平方。これで台形の高さDCの長さが6√3cmとわかる。
扇形の中心角である∠EOCを求めたい。
△AFEは1:2:√3の直角三角形なので∠ABF=30°
∠EBC=60。前述の合同から等しい角に印をつけていくと∠EOC=120°となる。
あとは、四角形EBCO(直角三角形×2)から中心角120°の扇形をひけばいい。
9×3√3÷2×2-3√3×3√3×π×120/360=27√3-9πcm2

*中心角∠EOCの求め方だが、四角形EBCOはBOを直径とする円に内接するので、
内接する四角形の対角の和は180°だから、180-60=120°でもいける。

(4) 12.5%!
xみたいな展開図をいじっていく。
組み立てたときの正四角柱の高さを①、底面の1辺の長さを②とする。

図が綺麗に書けない自分が憎い(っд`)
端っこの①は、1辺が①の正方形や直角二等辺三角形で考えてみて下さい。
大きな正方形の対角線は1:1:√2から12√2cm
これが⑥だから、①=12√2×1/6=2√2cm



大問3(証明)

(1) 51.3%
問題集によく載ってるタイプ。確実に正解したいところ。

(2)① 54.3%
連続する素数の差が2である双子素数。
表の素数に○つけて調べる。

② 0.5%!!
普通、整数の証明では、なんとかをなんとかnにおいて・・・、=3(n・・・)みたいに文字式を使うのが定石だが、本問は全く文字式を使わなくても良い。答えるをみるとアアァァーッ!と叫びたくなるほど単純だが、とっかかりが見つけにくい。
やり方はAさんの説明を参照する。素数は偶数ではない=奇数であることから、双子素数(差が2の素数のペア)に挟まれた数は偶数であると説明した。双子素数+間の数は連続する3つの整数なので、連続する3つの整数には必ず3の倍数であることを指摘すれば、素数が3の倍数でない以上、自動的に間の数が3の倍数となる。
①で調べた間の数は18、30、42と全て6の倍数になっている。
これは2の倍数×3の倍数=6の倍数だから。
学校選択問題では、2の倍数と3の倍数を自力で解説してから6の倍数の証明まで要求している。難問。

大問4(関数)

(1)4cm2  50.9%
*等積変形。4×2÷2=4cm2

(2)a=1/4  22.5%!
*傾きを求める設問だが、AとBのy座標が不明であることから戸惑った受験生はいたかもしれない。
座標もaで表す。A(-2、4a)B(4、16a)
右に6で上に12aだから、直線ABの傾きは2a
これを一般式に代入。
C(0、2)から切片2はわかっているので、aだけを求めればよい。
4a=-2×2a+2
4a=-4a+2
8a=2  a=1/4

(3) 0.9%!!!
やや難。
配点7のうち途中式の書き込みでどこまで部分点がもらえるかは学校の裁量次第。
△BDE∽△BCOから面積比を使う。
△BDEは△OABの面積を4分の1する。
△BCOは(1)で出している。
面積比は辺の比の2乗。公式解答では新たな線分hをつくり、
△BDE:△BCO=h2:42からhを求め、Pのx座標を求めている。

学校選択問題では、辺BEを回転の軸として△BDEを1回転させた立体の求積が出題された。難。
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