2024年度 群馬県公立高校入試問題過去問【数学】解説

問題はコチラ→PDFファイル

大問1(大問集合)

(1)①
7+(-2)
=7-2
=5


(3x+7)-(x-1)
=3x+7-x+1
=2x+8


(3a2b-2ab)÷ab ←分配法則
=3a2b÷ab-2ab÷ab
=3a-2

(2)
2-5x-24
=(x-8)(x+3)

(3)
ア:0.1=√(0.1)2=√0.01×
イ:(√10)2=10〇
ウ:3の平方根=2乗すると3になる数→±√3×
エ:3√11=√99、10=√100
√99<√100だから、3√11<10〇
イ・エ

(4)
底面積×2+側面積
=5×5×π×2+5×2×π×6
=110πcm2

(5)
2+5x+5=0
解の公式を適用、x=(-5±√5)/2

(6)
∠ACB=180-64×2=52°

(7)
三平方の定理より、AC2=412-402
(41+40)(41-40)=81
AC>0だから、AC=9cm

(8)
全体は、6×6=36通り
条件が変わる大の出目で場合分け。
●大が3以下【和】
(大、小)=(1、4)(2、3)(3、2)の3通り。
●大が4以上【積】
(大、小)=(4、5)(5、1~6)(6、5)8通り。
計11通りだから、確率は11/36。

(9)
『yはxの2乗に比例する』→y=ax2
(x、y)=(10、10)を代入、10=100a
a=1/10

y=1/10x2にx=30を代入。
y=1/10×900=90m


大問2(方程式)

(1)
左はag、右は2b+50g。
右の方が重い(値が大きい)ので、a<2b+50

(2)
答案では求める過程を書く。
〇1個をxg、☆1個をygとする。
3x=2y …①
2x+80=3y …②

①を3/2倍すると、9/2x=3y
これを②に代入。2x+80=9/2x
5/2x=80
x=32
①に代入、y=32×3÷2=48
丸型1個…32g、星型1個…48g

@別解@

xを1個減らして、yを1個増やすと+80で等しくなる→80の差が生まれた。
1回の交換で80差ということは、x+y=80がいえる
x=80-yを下の式に代入して、
2(80-y)+80=3y
5y=240
y=48と求めることもできる。

大問3(平面図形)

(1)

△PABと△QABについて、共通辺のABを底辺と考えると、
ℓ//ABより高さが等しいから、△PAB=△QAB

X…AB、Y…高さが等しい

(証明の続きを述べる)
2つの三角形から共通部分の△RABをひく
△PAR=△PAB-△RAB
△QBR=△QAB-△RAB
したがって、△PAR=△QBR

(2)①②

『PA=PB』→PはAとBから等距離にある。
ABの垂直二等分線とℓとの交点がP。
『∠ACB=1/2∠APB』→円周角の定理を思い浮かべる。
弧ABに対する中心角APBと円周角ACBの関係から条件に適合する。
Pを中心とする円を描き、ℓとの2つの交点がC。

大問4(データの活用)

(1)

小さい順に、小松市の第1四分位数(Q1)<宮崎市の最大値<桐生市の第3四分位数(Q3)
イ・ウ・ア

(2)

判断しやすい最小値・最大値から判断する。
最小値が最も小さいウが宮崎市、最大値が最も大きい小松市がア。
残りのイが桐生市。

(3)
ア:範囲(レンジ)=最大値-最小値。箱ひげ図でいうとヒゲ~ヒゲの長さ。
 範囲が大きいのは桐生市。〇
イ:四分位範囲=Q3-Q1。箱の長さが最も長い小松市。×
ウ:小松市のQ3は36℃→小松市の全体の1/4以上が36℃以上。
 対して、桐生市の中央値は36℃を超えている→過半数が36℃以上だから桐生市の方が多い。×
エ:31日の中央値は16番目の値。
 桐生市の16番目は宮崎市の最大値より大きい→桐生>宮崎は少なくとも16日ある。〇
ア・エ


大問5(方程式2)

(1)①

PとQはそれぞれOAとOBの中点である。
中点連結定理から、PQ=4000÷2=2000m
Qが真ん中の点。全体の距離は、(1500+2000)×2=
7000m



Oから垂線をひくと、辺の比が3000:2000=3:2の直角三角形がある。
Pから垂線をおろし、足をSとする。直角三角形の相似よりAP:AS=③:②

AP=xだから、AS=2/3x
Qから垂線をひき、足をTとする。対称性からBT=2/3x
PQ=ST=4000-2/3x×2=4000-4/3x
A→P→Qの距離は、x+(4000-4/3x)=-1/3x+4000
Qは真ん中なので、
y=2(-1/3x+4000)=-2/3x+8000


A→B→Cの90%…4000×2×90%=7200m
A→P→Q→R→Cの距離はyだから、前問の式にy=7200を代入すればいい。
7200=-2/3x+8000
2/3x=8000
x=1200
1200m

(2)
展開すると、A→B→CとP→Q→Rは直線ではない。
上から見た図で確認する。

(1)②より、PQ+QR=(4000-4/3x)×2=8000-8/3x
赤線ルートの時間が青線ルートの時間の90%になる。
時間で等式を立てるとして、速さは比しかわかっていない。
速さの比は、上り(AP):平地:下り(RC)=0.6:1:1.5=6:10:15

速さの比例定数をvとする。(v;速度velocityの頭文字で高校物理で扱う)
上り(AP):平地:下り(RC)=:6v:10v:15v
距離÷速さでそれぞれの区間の時間を表し、その合計で方程式を立てる。

x/6v+(8000-8/3x)/10v+x/15v=8000/10v×90% ←×30v
5x+3(8000-8/3x)+2x=7200×3
5x+(24000-8x)+2x=21600
x=2400
2400m

@余談@
こういう問題を見ると算数の範囲で攻略できないかと追究したくなり、
あれこれ試行錯誤した結果、見つけました。興味のある方はご覧ください。

APとRCは距離一定。
速さの比が6:15=2:5なので、時間の比は逆比でAP:RC=⑤:②です。

AとRから垂線をおろし、足をS・TとしてASの時間を求めます。
距離はAPの2/3倍、ASの方が速いので、時間は逆比でAPの6/10倍です。
ASの時間…⑤×2/3×6/10=②
ASとCTは距離一定かつ速さ一定ですから、CTの時間も②。
(計算で求めると、②×2/3×15/10=②)

Qから垂線をひき、それぞれをU・Vとします。
赤線ルート青線ルートの相違点に着目すると、⑤(AP)←→⑥(AS+UB+BV)
差の①が短縮分の10%に相当する
青線ルートの時間を⑩とすると、赤線ルートの時間は⑨です。

A→Bまでが⑩÷2=⑤、A→Sまでが②の時間で速さは一定ですから、
距離の比はAS:AB=②:⑤
AS=4000×②/⑤=1600m
AP:AS=3:2なので、AP=1600×3/2=2400m


前半は解きやすい問題が多い。
大問1
(3)平方根の基礎だが、すべて選べは油断できない。
(6)小学生でも解ける。
(7)三平方だが値が大きい。馴染みの因数分解に持ち込む。
(8)条件が分岐する大の出目から考える。
大問2
文字が積み木に変わっただけなので、ミスなく適応したい。
(2)そのままでは加減法が使えない。
2xか3yをつくれば代入法が使えるが分数になる。
大問3
(1)等積変形。共通部分の控除で残りも等しい。
(2)問題文の『PA=PB』に注目。
Cは円を描けるかがポイント。2ヵ所ある。
ある角が別の角の半分になる関係→円周角の定理は作図問題でよく出てくる。
大問4
判断がしやすかった。
(3)エ:一方の中央値が他方の最大値を上回る→半分以上は高い。
大問5
(1)②PQの長さをどうやって求めるか。
等脚台形PABQのそでが2/3xなので、対称性を利用して中央部分をPQにあげる。
③前問ができれば解きやすいが、連続失点の危機がある。
(2)求めるAPをxとおく。
前問の数値を利用するとA→P→Q→R→Cの道のりをxで表すことができる。
問題は速さが比しかわかっていない点。
何かの文字を設定すると未知数が2つあらわれるが、
距離÷速さ=時間の和で等式を立てると、速さの未知数はすべて分母にくるので、
方程式を解く際に通分で消すことができる。
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