2019年度 千葉県公立高校入試問題【前期】数学解説

平均54.5点

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大問1(計算)-85.5%

(1) 97.7%
15÷(-3)
=-5

(2) 91.0%
7-(-3/4)×(-2)2
=7-(-3/4)×4
=7+3=10  

(3) 87.8%
(7x+y)-4(1/2x+3/4y)
=7x+y-2x-3y  ←符号注意ね!
=5x-2y

4) 74.0%
9a+3b=2
3b=-9a+2
b=-3a+2/3

(5) 87.9%
4/√2-√3×√6
=2√2-3√2
=-√2

(6) 74.3%
2x2+x-4=0
解の公式を適用。
x={-1±√(12-4・2・(-4)}/2・2
x=(-1±√33)/4

大問2(小問集合)-50.6%

(1) 76.7%
レンジ(range)は範囲。〔最大値-最小値〕で求める。
178.2-163.5=14.7cm  ウ

(2) 44.6%
x=1のとき、y=12
x=4のとき、y=3
変化の割合…(yの増加量)/(xの増加量)=(3-12)/(4-1)=-3
反比例はxが増えるとyは減るので、変化の割合はマイナスになる。

(3) 61.2%
買ったゼリーの個数をxとおくと、プリンの個数は24-x個。
80x+120(24-x)+100=2420
40x=560
x=14   → 14個

(4) 41.6%
aで+(右)、bで-(左)。
絶対値が2以下→計算結果が-2以上2以下
式に表してみよう(σ’д’)σ
2+a-b=2
a-b=0
aとbが同数になればOK。6通り

2+a-b=1
a-b=-1
b-a=1  ←両辺に-をかけてます。
b>aで、bとaの差が1。5通り

2+a-b=0
a-b=-2  (b-a=2)
b>aで、bとaの差が2。4通り

2+a-b=-1
a-b=-3  (b-a=3)
法則が見えてきた
( ✧Д✧) カッ!! 3通り

2+a-b=-2
a-b=-4  (b-a=4)2通り

計20通り  20/36=5/9
わりと多いのでめんどいが、法則がわかると後半はスラスラいける。

(5) 28.9%!
作図やりやすくなってる((´∀`))
この傾向は続くのかな?

Aは半直線OX上にあり、Bは半直線OY上にある。
OA=OBなので、AとBはOから等距離にあるが、
直線ABがPを通過しなければならない。
そこで、∠XOYの二等分線を描き、これとPを通る垂線を作図する。

↑イメージとしてはこんな感じ。
青が∠XOYの二等分線。
二等分線に対する垂線(赤い線)で、
OXとの交点とOYとの交点は、共にOからの距離が等しくなる。
(理由は二等分線を対称の軸としたとき、2つの三角形が左右対称になるから。
 が角の二等分、1つが垂直なので、残りの角も等しい。
 共通辺より、1辺と両端角が等しい→左右の三角形が合同)
この線がPを通れば良い。

①∠XOYの二等分線

②Pを通る垂線。

AとBの記載もお忘れなく!

大問3(関数)-51.9%

(1) 85.5%
A(2、2)をy=ax2に放り込む。
2=22
4a=2
a=1/2

(2)① 63.6%
y=1/2x2からB座標は(6、18)

P→Qと作成。
PAの式を求める。
右に8、下に16なので、傾きは-2。
A(2、2)をy=-2x+bに代入。
2=-2×2+b
b=6
PA;y=-2x+6の切片がQのy座標なので6。

 6.7%!
面積の二等分なので等積変形だろうと予測はつくが、
どう使うのかが問題。
まず、△ABQと面積の等しい三角形を考える。
ポイントはPA上

底辺の長さが同じであれば、面積も同じ。
QAと同じ長さで、AR’を描く。
R’の座標は、Q→Aが下4、右2なので、
A→R’もAから下4、右2に移動してR’(4、-2)

R’をx軸に移行する。
ここで等積変形を使う。

ABの傾きは、右に4、上に16だから4。
R’Rも平行で同様。R’の座標から、
-2=4×4+b
b=-18
y=4x-18
Rのx座標は、この式でy=0のとき、
0=4x-18
x=18/4=9/2
いきなりx軸に注意を向けるのでなく、迂回しよう。

大問4(平面図形)-46.2%

(1) 
はじめはPQ//DCを導くために、【四角形PQCDが平行四辺形】であることを証明する。
a…PDに等しいのはQCしかない。 イ  98.0%
b…②と③をみると、1組の対辺が等しくて平行。カ  76.0%
  平行四辺形の合同条件も確認しておこう。
c…△RQE∽△SGFの証明。 6点-10.6%! 3点-6.4% 無答-40.3%!!

青く囲った2つの三角形の関係に注目。
先ほど、PQ//DCを出したので、これを利用して、
同位角→対頂角のコンボ。
さらに、ひし形は特殊な平行四辺形なので、
RQ//PSから錯角。2角が等しいので、∽。

② 0.2%!!!
抜け毛がでるほどの鬼問。。
菱形の1辺が5cmなので、GSは2cm。
菱形ばかりいじっていると迷子になる!(´Д`)
ポイントは、平行四辺形の1辺の半分であるPD=2cmをうまく使う。
Sを通るADに平行な線分を引き、CDとの交点をHとする

△GDPと△GHSは相似(錯角や対頂角で2角が等しい)。
PG:SG=3:2から、
GH=2、HS=4/3

△SGHをピックアップ。
菱形の対角線は垂直に交わり、PQ//DCだから、
GHとSFは垂直に交わる
あとはお決まりの三平方。
2-(2-x)2=(4/3)2-x2
-x2+4x=-x2+16/9
4x=16/9
x=4/9

△SFH内で三平方。
FS2=(4/3)2-(4/9)2
=128/81
FS=√(128/81)=8√2/9cm
キツイね(´゚д゚`)
平行四辺形と菱形の融合なので、菱形でダメだったら、
どこかで菱形と平行四辺形を組み合わせられないか、という発想に飛ばす。
*最後の方の分母が誤っていました。
ミスのご指摘ありがとうございました( ̄人 ̄)

@余談@

Eに注目すると、Eは菱形の対角線の交点ゆえ、菱形の中心にある。
さらに、平行四辺形の上底の中点Pと下底の中点Qを結んだPQは、
平行四辺形ABCDを二等分する線分であり、
その中心にEが鎮座するということは、Eは平行四辺形の中心にもいる。
Eを回転の中心とすると、この図形は180度コロッと回転しても同じ図形になる。
(いわゆる点対象の図形)
だから何だという話だが、以上の作業は左下でもできる。それだけ。
(サボは何故か左下でイジイジしてたら先の解法を思いつきました)
この図形には、まだ何か隠れているかもしれない(。´・ω・)?

大問5(空間図形)-31.3%

規則じゃない・・(´゚д゚`)担当かわった?
(1)① 63.5%
円錐の体積。
6×6×π×6×1/3= 72πcm3

② 33.0%!
球をボチャっと入れたときに、球が水面をはみ出ないかを判定。


断面を作図するとこんな感じ。
大きい直角二等辺三角形を縦に切断すると、左右に直角二等辺三角形。
円の中心から半径を描き、接線は垂直。
すると、1辺2cmの正方形が現れる。
この対角線は1:1:√2から、2√2cm。
√2は一夜一夜に人見ごろ…(1.4142…)
球の上部は、2+2×1.4142…<6cmなので、
球はすべて水に沈む。
あふれた水の体積=球の体積(4/3πr3)。
4/3π×23=32/3πcm3

(2) 4点-18.7%! 3点-6.0% 無答-29.7%
公式解答参照。
AとBの体積を求めて比べるだけ。
Aは円錐、Bは円柱から半球を引く。
すると、ともに125/3πcm3で値が同じになるので、水はあふれない。
半球の体積
は円柱の2/3にあたることになる。

(3) 6.9%!
方針は立てやすいが、処理の煩雑さに吐き気を催す(‘ω’)

作図で失敗すると死亡なので、丁寧に認定していく。
おもりの半径4cmを手がかりに、おもりの底面と容器の最深部の距離は4cm。
おもりの高さは、10-4=6cm。
おもりが沈んだ部分(赤斜線)から、まだ水が満たされていない(青斜線)を引き、
超過分があふれ出た水の体積になる。
青斜線は、r=10とr=9の体積比103:93で計算して、
容器A全体を103とおき、水のない1cm分は(103-93)とする。
ここからおもりがある部分を引くことに注意
赤斜線…4×4×π×5=80πcm3
青斜線…10×10×π×10×1/3×(103-93)/103-4×4×π×1
=271/3π-16π=223/3πcm3
よって、80π-223/3π=17/3πcm3

発狂しそう( ゚∀゚)アハハ八八ノヽノ \ 
1ヶ所でもミスすると間違える。
迅速かつ確実な処理能力と我慢強さが求められた。

@別解@
光宮百吉子さんから素晴らしい解法を頂きました(*´д`艸)
あふれ出た水の体積=9cmの円錐+円柱-10cmの円錐
=9×9×π×9×1/3+4×4×π×6+10×10×π×10×1/3
=243π+96π-1000/3π
=17/3πcm3

9cmの円錐(形が変わる水)におもりを沈めるとき、
水があった空間におもりが入ってきますが、同じ空間にこれらは重複しません。
9cmの円錐の水と円柱のおもりの体積の和は
10cmの円錐の容器と溢れ出た水の体積の和に相当するので、
上の式が成り立ちます。
こちらの方が式がスッキリして計算処理も楽になりますね!(*’ω’*)
 

千葉といえば難関な作図だったのに(・3・)
4(2)は500人に1人しか正解しておらず、公立入試の世界ではエグい難易度。
ラストはネチネチ求めていくより、発想でサクッといった方がいいね(;^ω^)

2019年度(千葉)前期
社会…平均56.6点 理科…平均60.6点 英語…平均53.6点 国語…平均54.2点
2019年度(千葉)後期
数学…平均61.0点 社会…平均65.8点 理科…平均61.6点 英語…平均61.9点 国語…平均59.2点
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