2025年度　長野県公立高校入試問題過去問【数学】解説

平均58.45点（前年比；＋9.48点）

100点…８人
問題ＰＤＦ

大問１（小問集合）

（１）
５＋（－４）
＝５－４
＝１

（２）
２ｘ＋３＋２（３ｘ＋１）
＝２ｘ＋３＋６ｘ＋２
＝８ｘ＋５

（３）
３ｘ＋７ｙ＝８　…①
ｘ＋２ｙ＝２　…②
①－②×３をして、ｙ＝２
②に代入、ｘ＝－２
ｘ＝－２、ｙ＝２

（４）
根号の中身が平方数であれば、根号が外れて自然数になる。
√９＝３
√（９－ａ）は３未満。√４、√１しかない。
９－ａ＝４→ａ＝５
９－ａ＝１→ａ＝８
ａ＝５、８

（５）
２ｘ²＋３ｘ－１＝０
解の公式より、ｘ＝（－３±√17）/４

（６）
ａ÷７＝ｂ…ｃ
ａ＝７ｂ＋ｃ
イ

（７）
ｙ＝－３ｘ²は上に凸のグラフ。
ｘ＝－２のとき、最小値ｙ＝－12
ｘ＝０のとき、最大値ｙ＝０
－12≦ｙ≦０

（８）
反比例は双曲線→ウ・エ
反比例の比例定数ａは積ｘｙ。
ａ＝２×（－２）＝－４

ａ＜０の場合、第２象限と第４象限にあらわれる。
エ

（９）

弧ＢＣに対する中心角ＢＯＣ＝40×２＝80°
半径より△ＯＢＣは二等辺。
ｘ＝（180－80）÷２＝50°

（10）

Ｏを回転の中心として、Ｐを時計回りに30°回転移動させたＱを作図する。
→ＱはＰの右上にある。
30＝60÷２
60°といえば正三角形。
ＰＯを１辺とする正三角形を描き、∠Ｏの二等分線をひく。
前の弧との交点がＱとなる。

（11）
全体は６×６＝36通り
積が12→（２、６）（３、４）と逆を含めた４通り。
確率は４/36＝１/９

（12）

相対度数の合計は１。
３回の相対度数は、１－（0.15＋0.40＋0.25）＝0.20
0.15：0.20＝③：④だから、９×④/③＝12人

大問２（小問集合２）

Ⅰ（１）
範囲＝最大値－最小値
Ｂの最小値＝800－460＝340ｃｍ

（２）

四分位範囲＝第３四分位数（Q3）－第１四分位数（Q1）
箱ひげ図でいう箱の長さで、データの中央に集まる約50％の散らばり具合を示す。
Ａの方が四分位範囲は小さく、散らばりの程度は小さい。
エ

（３）
ＡのQ3＜Ｂの中央値（Ｑ2）
25のＱ2は13番目。Ｂの13番目が683ｃｍ。
Ｑ1は上位12回の真ん中、上から６番目と７番目の平均。
Ａの６番目と７番目の平均が650ｃｍほどなので、683ｃｍ以上は多くて６回。
え…イ、お…エ

Ⅱ（１）
1122＝11×102を真似る。
5533÷11＝503だから、5533＝11×503
か…11、き…503
＠＠

筆算にすると分かりやすい。

（２）
11の倍数であることを証明したいので、最後は11でくくる形になる。
1000ａ＋100ａ＋10ｂ+ｂ
＝1100ａ＋11ｂ
＝11（100ａ＋ｂ）
100ａ＋ｂは整数だから、11（100ａ＋ｂ）は11の倍数。

Ⅲ（１）

Ｑの高さは赤。Ｐの高さである水色より小さい。
『底面と交わる４つの辺』→青に着目する。
青も水色も12ｃｍだが、青は底面に対して垂直ではないからＱの高さは12ｃｍより小さくなる。
く…小さい、け…垂直

（２）

錐は柱（立方体）の３分の１→ＲはＰと底面・高さが等しい正四角錐。
赤線を対角線とする直方体に着目する。
√（６²＋６²＋12²）＝√216＝６√６ｃｍ

大問３（数量変化・関数）

Ⅰ（１）
５つの点がほぼ一直線上に並んでいるから、一次関数とみなせる。

（２）
（０、90）→（４、74）
右に４、下に16だから、傾きは－16/４＝－４
切片は（０、90）なので、ｙ＝－４ｘ＋90
これにｘ＝６を代入。ｙ＝－４×６＋90＝66
い…－４、う…ｙ＝－４ｘ＋90、え…66℃

（３）
求め方を説明する。

●グラフを用いる方法
５時間後に50℃になる。
（５、50）を通る、傾き－４のグラフを描く。
水筒にお湯を入れる時間はｘ＝０のとき
お…グラフの切片を読み取る。

●式を用いる方法
一次関数ｙ＝ａｘ＋ｂにａ＝－４を代入する。
切片はｂ。
か…（ｘ、ｙ）＝（５、50）を代入してｂを求める。

Ⅱ（１）
Ｐのｘ座標が２倍、３倍、４倍…になると、
比例のグラフ上にあるＱのｙ座標は２倍、３倍、４倍…。
放物線（ｙ＝ａｘ²）上にあるＲのｙ座標は４倍、９倍、16倍…。
エ

（２）

ｙ＝１/２ｘ²にｘ座標を代入→Ａ（４、８）Ｒ（６、18）
Ａ座標よりＯＡの式はｙ＝２ｘ→Ｑ（６、12）
ＱＲ＝18－12＝６ｃｍ

（３）
ＰＱ＝ＱＲ→ＱはＰＲの中点。
ということは、Ａより右側（ｘ＞４）である。

Ｐのｘ座標をｔとすると、Ｑ（ｔ、２ｔ）Ｒ（ｔ、１/２ｔ²）
Ｑのｙ座標を２倍するとＲ座標。
１/２ｔ²＝２ｔ×２
１/２ｔ²＝４ｔ　←２倍
ｔ²－８ｔ
＝ｔ（ｔ－８）＝０
ｔ＞４より、ｔ＝８

（４）

ＰＡの傾きが１/２。
右上の直線だから、ＰはＡの左側にある。
Ａから下に８、右に16移動してＰ。
Ｐのｘ座標は、４－16＝－12
これをｙ＝１/２ｘ²に代入。
ｙ＝１/２×144＝72
Ｒ（－12、72）

大問４（平面図形）

Ⅰ（１）

長方形は対辺が平行。
２組の対辺が平行だから、四角形ＡＢＣＤは平行四辺形である。

＠平行四辺形になるための条件＠
①２組の対辺が平行（平行四辺形の定義）
②２組の対辺が等しい
③２組の対角が等しい
④対角線がおのおのの中点で交わる
⑤１組の対辺が平行、かつ長さが等しい

（２）①

ＡＤ//ＢＣの錯角で45°を移す。
∠ＢＡＤ＝180－45＝135°

②
Ｂから直線ＣＤに対して垂線をひく。
水色の直角二等辺より、ＢＣ＝４√２ｃｍ
四角形ＡＢＣＤの面積は、４√２×４＝16√２ｃｍ²

Ⅱ（１）
△ＡＢＥ∽△ＰＣＥの証明。

対頂角より、∠ＡＥＢ＝∠ＰＥＣ
長方形イの対辺からＡＢ//ＣＰなので、錯角より∠ＡＢＥ＝∠ＰＣＥ
２角相等で∽

（２）①

△ＡＢＥ≡△ＰＣＥ
△ＰＣＥをＣＥを対称の軸として対称移動すると、△ＡＢＣは二等辺三角形。
なんとなく△ＡＢＣが正三角形っぽい…。
平行四辺形ＡＢＣＤの対辺より、ＡＢ＝ＤＣ

ＢとＤから垂線をおろし、それぞれの足をＨ、Ｉとする。
∠ＢＨＣ＝∠ＤＩＣ＝90°
ＢＨ＝ＤＩ＝４ｃｍ
対頂角で∠ＢＣＨ＝∠ＤＣＩ→残りの角で∠ＨＢＣ＝∠ＩＤＣ
１辺と両端角が等しく、△ＢＨＣ≡△ＤＩＣ
ＢＣ＝ＤＣ（＝ＡＢ）
△ＡＢＣは３辺が等しい正三角形。
ＡＥは∠ＢＡＣの二等分線だから、∠ＢＡＥ＝60÷２＝30°

@余談@
平行四辺形ＡＢＣＤは隣り合う辺の長さが等しいので菱形である。

②

前図の正三角形ＡＢＣより、∠ＡＢＥ＝60°
菱形ＡＢＣＤの対角より、∠ＡＤＣ＝60°
△ＡＰＤの内角は30°―60°―90°、辺の比が１：２：√３の直角三角形。
ＰＤ＝８×２/√３＝16√３/３ｃｍ

（３）

ＢＥ＝ｘとする。
菱形ＡＢＣＤよりＡＢ＝ｘ＋３
△ＡＢＥで三平方。
（ｘ＋３）²＝ｘ²＋４²
ｘ²＋６ｘ＋９＝ｘ²＋16
ｘ＝７/６
ＢＥ：ＥＣ＝７/６：３＝７：18