2024年度　茨城県公立高校入試問題過去問【数学】解説

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大問１（計算）

（１）①
３－９
＝－６

②
－３（ｘ＋２ｙ）＋（ｘ－３ｙ）
＝－３ｘ－６ｙ＋ｘ－３ｙ
＝－２ｘ－９ｙ

③
３ａ²ｂ×４ｂ÷６ａｂ
＝２ａｂ

④
√６（√２＋√３）
＝√12＋√18
＝２√３＋３√２
（*√６＝√２×√３と分解してかけてもいい）

（２）
ｘ²+７ｘ－８
＝（ｘ－１）（ｘ＋８）　【エ】

大問２（小問集合）

（１）

Ｅを通るＢＣに平行な線をひき、ＡＢとの交点をＦとする。
△ＡＦＥ∽△ＡＢＣ→△ＡＦＥも正三角形で∠ＡＥＦ＝60°
Ｄを通る平行線もひき、錯角でおろしていく。
74－60＝14°、39－14＝25°　【イ】

（２）

10人の中央値（Q2）は５番目と６番目の平均で3.5回。
第１四分位数（Q1）は下位５人の真ん中、下から３番目で３回。
第３四分位数（Q3）は上位５人の真ん中、上から３番目で６回。
以上を満たす箱ひげ図は【ウ】。

（３）
大人２人…２ｘ円、子供３人…３ｙ円、割引券１枚使用で－500円。
これらの和が4000円より安いので、２ｘ＋３ｙ－500＜4000
【ア】

（４）

ｙ＝２ｘ²は下に凸のグラフ。
ｘ＝０のとき、最小値ｙ＝０（Ⅱ…０）
ｘ＝－１のとき、ｙ＝２なので、
ｘ＝Ⅰ（Ⅰ＞０）のときにｙ＝18である。
18＝２ｘ²
ｘ＞０より、ｘ＝３（Ⅰ…３）　【エ】

大問３（平面図形）

（１）

同位角で∠ＥＢＤ＝∠ＣＥＦ【ア】
錯角で∠ＢＤＥ＝∠ＦＥＤ【オ】

（２）

２角相等（対頂角・錯角）で△ＡＢＥ∽△ＤＣＥ
相似比は３：６＝１：２
面積比は２乗して、△ＡＢＥ：△ＤＣＥ＝１：４
△ＤＣＥの面積は、５×４＝20ｃｍ²

△ＤＥＦ：△ＦＥＣ＝ＤＦ：ＦＣ＝⑤：①
△ＤＥＦの面積は、20×⑤/⑥＝50/３ｃｍ²

（４）
△ＤＣＢ≡△ＥＣＦの証明。

仮定より、ＣＤ＝ＣＥ＝６ｃｍ
共通角から、∠ＤＣＢ＝△ＥＣＦ

ここで△ＣＢＦに着目する。
ＥＤ//ＢＦより、ＣＥ：ＣＢ＝ＣＤ：ＣＦ
仮定のＣＤ＝ＣＥ（〇）→〇：ＣＢ＝〇：ＣＦ→ＣＢ＝ＣＦ（〇＋▲）
２辺とあいだの角が等しいので合同。
Ⅰ…ウ、Ⅱ…ＣＢ＝ＣＦ、Ⅲ…２辺とあいだの角

大問４（確率）

（１）
ａ＋ｂが３の倍数→３で割ると余りが０になる。

余りを調べると、（１・２・０）が連続する。
ａで余り１を引いたら、ｂで余り２を引けばａ＋ｂは３の倍数になる。
ａで余り２を引いたらｂで余り１を、ａで余り０を引いたらｂで余り０を引けばいい。
つまり、ａで何かを引いたら、それに対応する数をｂで引けばいい。
対応するｂの数はいずれも６枚のうち２枚。確率は２/６＝１/３　【イ】

（２）①

ａ側でどこかに置いたら、対応するｂはａの反対側しかない。
（ａ＝３はｂ＝９、ａ＝５はｂ＝11）
対応するｂの確率は１/６。

②
１は固定なので、ａで１を引くと三角形にならない。（ａ≠１）

円周上の点を結んだ直角→円周角の定理で考える。
直径に対する円周角は90°。直径と１を結ぶと直角三角形になる。
（１―７）のペアを除いた直径５本→５通り。

今度は、１が直径の一端である場合を考える。
直径は（１―７）、ａ＝２～６の５通り。
計10通りで全体は６×６＝36通りだから、確率は10/36＝５/18

大問５（数量変化）

（１）
水の体積は、100×60＝6000ｃｍ³
これを底面積で割ればいい。
6000÷（30×20）＝10ｃｍ

（２）①

おもりは奥まであるので、正面から見た図の面積比がそのまま体積比になる。
おもりの高さ15ｃｍで区切る。
高さ15ｃｍ以下の幅は10ｃｍ、高さ15ｃｍ以上の幅は30ｃｍ。
水は一定の割合で入るから、水面の高さの変化の割合は逆比で③：①。
（幅が１/３になれば、水面の上昇スピードは３倍になる）

グラフの転換点は15ｃｍ→ア・イのどちらか。
15ｃｍ以下の方が変化の割合が大きいので【イ】と決まる。
念のため傾きを調べると、15ｃｍ以下は傾き１、
15ｃｍ以上は右に３、上に１だから傾きは１/３→変化の割合は③：①である。

②

おもりの影響を受けない高さ15ｃｍ以上で考える。
給水；100ｃｍ³/秒では60秒かかっている。
排水；150ｃｍ³/秒では、60×100/150＝40秒かかる。
つまり、排水のグラフは（０、25）と（40、15）を通過する。
求めるべき座標は２直線の交点である。

給水の傾き…右に30、上に５だから、５/30＝１/６
延長すると切片はちょうど10なので、ｙ＝１/６ｘ＋10
排水の傾き…右に20、下に５ｃｍだから、－５/20＝－１/４
切片は25なので、ｙ＝－１/４ｘ＋25

１/６ｘ＋10＝－１/４ｘ＋25　←12倍
２ｘ＋120＝－３ｘ＋300
ｘ＝36
ｙ＝１/６ｘ＋10にｘ＝36を代入して、ｙ＝16
したがって、（36、16）

大問６（空間図形）

（１）

ねじれの位置…延長しても交わらない、かつ平行でもない。
ＡＢとネジレなのはＣＦのみ。　【オ】
（＊他にはＤＦとＥＦがＡＢとネジレである）

（２）①

側面の３面を広げると、縦が４ｃｍ、横が３＋３＋２＝８ｃｍの長方形である。
底面は二等辺三角形。Ａから垂線をひき、足をＨとする。
△ＡＢＨで三平方→高さＡＨ＝２√２ｃｍ
表面積は、４×８＋２×２√２÷２×２＝32＋４√２ｃｍ²

②

三角錐Ｐ―ＤＥＦの体積は、２×２√２÷２×４÷３＝８√２/３ｃｍ³
高さの比であるＤＰ：ＲＰが知りたい。
ここで、∠ＱＲＤ＝90°を利用する。

Ｐの真下をＳとして、∠ＱＲＤを観察できる面ＡＤＳＰで切り取る。
●＋×＝90°で角度を調査すると、△ＱＤＲ∽△ＤＰＳ。
ＤＳ：ＰＳ＝２√２：４＝〇√２：②
△ＤＰＳの辺の比で三平方→ＤＰ＝〇√６
直角三角形の辺の比からＤＲとＤＰの長さを求めればいい。

ＤＲ＝１×②/〇√６＝√６/３ｃｍ
ＤＰ＝４×〇√６/②＝２√６ｃｍ
ＤＲ：ＤＰ＝√６/３：２√６＝①：⑥
したがって、求積すべき立体の体積は、８√２/３×⑤/⑥＝20√２/９ｃｍ³

＠別解＠
ＤＲ：ＲＰの比についてです。

ＱＲを延長しＤＳとの交点をＴ、ＰＳの延長との交点をＵとおいてみると…
ＤＴ＝１×②/〇√２＝√２ｃｍ→ＴはＤＳの中点である。
ＤＴ＝ＳＴと等しい両端角から△ＱＤＴ≡△ＵＳＴ
ＳＵ＝１ｃｍ
△ＱＤＲ∽△ＵＰＲより、ＤＲ：ＲＰ＝１：５と求めることもできる。