2024年度 茨城県公立高校入試問題過去問【数学】解説

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大問1(計算)

(1)①
3-9
=-6


-3(x+2y)+(x-3y)
=-3x-6y+x-3y
=-2x-9y


3a2b×4b÷6ab
=2ab


√6(√2+√3)
=√12+√18
=2√3+3√2
(*√6=√2×√3と分解してかけてもいい)

(2)
2+7x-8
=(x-1)(x+8) 【エ】

大問2(小問集合)

(1)

Eを通るBCに平行な線をひき、ABとの交点をFとする。
△AFE∽△ABC△AFEも正三角形で∠AEF=60°
Dを通る平行線もひき、錯角でおろしていく。
74-60=14°、39-14=25° 【イ】

(2)

10人の中央値(Q2)は5番目と6番目の平均で3.5回。
第1四分位数(Q1)は下位5人の真ん中、下から3番目で3回。
第3四分位数(Q3)は上位5人の真ん中、上から3番目で6回。
以上を満たす箱ひげ図は
【ウ】。

(3)
大人2人…2x円、子供3人…3y円、割引券1枚使用で-500円。
これらの和が4000円より安いので、2x+3y-500<4000
【ア】

(4)

y=2x2は下に凸のグラフ。
x=0のとき、最小値y=0(Ⅱ…0)
x=-1のとき、y=2なので、
x=Ⅰ(Ⅰ>0)のときにy=18である。
18=2x2
x>0より、x=3(Ⅰ…3) 【エ】


大問3(平面図形)

(1)

同位角で∠EBD=∠CEF【ア】
錯角で∠BDE=∠FED【オ】

(2

2角相等(対頂角・錯角)で△ABE∽△DCE
相似比は3:6=1:2
面積比は2乗して、△ABE:△DCE=1:4
△DCEの面積は、5×4=20cm2


△DEF:△FEC=DF:FC=⑤:①
△DEFの面積は、20×⑤/⑥=50/3cm2

(4)
△DCB≡△ECFの証明。

仮定より、CD=CE=6cm
共通角から、∠DCB=△ECF

ここで△CBFに着目する。
ED//BFより、CE:CB=CD:CF
仮定のCD=CE()→:CB=:CF→CB=CF(
2辺とあいだの角が等しいので合同。
Ⅰ…ウ、Ⅱ…CB=CF、Ⅲ…2辺とあいだの角

大問4(確率)

(1)
a+bが3の倍数→3で割ると余りが0になる。

余りを調べると、()が連続する。
aで余りを引いたら、bで余りを引けばa+bは3の倍数になる
aで余りを引いたらbで余りを、aで余りを引いたらbで余りを引けばいい。
つまり、aで何かを引いたら、それに対応する数をbで引けばいい。
対応するbの数はいずれも6枚のうち2枚。確率は2/6=1/3 【イ】

(2)①

a側でどこかに置いたら、対応するbはaの反対側しかない。
(a=3はb=9、a=5はb=11)
対応するbの確率は1/6。


1は固定なので、aで1を引くと三角形にならない。(a≠1)

円周上の点を結んだ直角→円周角の定理で考える。
直径に対する円周角は90°。直径と1を結ぶと直角三角形になる
(1―7)のペアを除いた直径5本→5通り。


今度は、1が直径の一端である場合を考える
直径は(1―7)、a=2~6の5通り。
計10通りで全体は6×6=36通りだから、確率は10/36=5/18

大問5(数量変化)

(1)
水の体積は、100×60=6000cm3
これを底面積で割ればいい。
6000÷(30×20)=10cm

(2)①

おもりは奥まであるので、正面から見た図の面積比がそのまま体積比になる。
おもりの高さ15cmで区切る。
高さ15cm以下の幅は10cm、高さ15cm以上の幅は30cm。
水は一定の割合で入るから、水面の高さの変化の割合は逆比で③:①
(幅が1/3になれば、水面の上昇スピードは3倍になる)

グラフの転換点は15cm→ア・イのどちらか。
15cm以下の方が変化の割合が大きいので【イ】と決まる。
念のため傾きを調べると、15cm以下は傾き1、
15cm以上は右に3、上に1だから傾きは1/3→変化の割合は③:①である。



おもりの影響を受けない高さ15cm以上で考える。
給水;100cm3/秒では60秒かかっている。
排水;150cm3/秒では、60×100/150=40秒かかる。
つまり、排水のグラフは(0、25)と(40、15)を通過する。
求めるべき座標は2直線の交点である。

給水の傾き…
右に30、上に5だから、5/30=1/6
延長すると切片はちょうど10なので、y=1/6x+10
排水の傾き…右に20、下に5cmだから、-5/20=-1/4
切片は25なので、y=-1/4x+25

1/6x+10=-1/4x+25 ←12倍
2x+120=-3x+300
x=36
y=1/6x+10にx=36を代入して、y=16
したがって、(36、16)

大問6(空間図形)

(1)

ねじれの位置…延長しても交わらない、かつ平行でもない。
ABとネジレなのはCFのみ。 【オ】
(*他にはDFとEFがABとネジレである)

(2)①

側面の3面を広げると、縦が4cm、横が3+3+2=8cmの長方形である。
底面は二等辺三角形。Aから垂線をひき、足をHとする。
△ABHで三平方→高さAH=2√2cm
表面積は、4×8+2×2√2÷2×2=32+4√2cm2



三角錐P―DEFの体積は、2×2√2÷2×4÷3=8√2/3cm3
高さの比であるDP:RPが知りたい。
ここで、∠QRD=90°を利用する。

Pの真下をSとして、∠QRDを観察できる面ADSPで切り取る
×=90°で角度を調査すると、△QDR∽△DPS
DS:PS=2√2:4=〇√2
△DPSの辺の比で三平方→DP=〇√6
直角三角形の辺の比からDRとDPの長さを求めればいい。

DR=1×/〇√6=√6/3cm
DP=4×〇√6/=2√6cm
DR:DP=√6/3:2√6=①:⑥
したがって、求積すべき立体の体積は、8√2/3×⑤/⑥=20√2/9cm3

@別解@
DR:RPの比についてです。

QRを延長しDSとの交点をT、PSの延長との交点をUとおいてみると…
DT=1×/〇√2=√2cm→TはDSの中点である。
DT=STと等しい両端角から△QDT≡△UST
SU=
1cm
△QDR∽△UPRより、DR:RP=1:5と求めることもできる。


大問3までは点を稼ぎたい。後半の大問も2問目までは取りやすい。
大問1
配点20点。
大問2
配点20点。
(1)ジグザクの求角は平行線をひいて錯角。
初手は正三角形の60°を上にもってくる。
(3)移行の必要はなかった。
大問3
平面図形も解きやすい。
(3)穴埋め形式で、証明の流れから2辺と間の角と察しやすい。
大問4
(1)もちろん、3の倍数の数を調べ上げてもいい。
3の倍数がセットになっているので、aに対応するbだけを考えることもできる。
(2)②aで1を引くと2点のみで、三角形にならない。
b≠7では前問の直径を利用。b=7はaは1以外。
大問5
(2)①計算なしで選択できた。
②給水排水は速さと同じ。排水の量が多ければ、時間は逆比でかからなくなる。
直線が描ければ、式も出しやすい。
大問6
(2)②対応する辺を取り違えないように気を付けよう。
●×の等角を記すとミスを防ぎやすい。
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