2020年度 岡山県公立高校入試問題【数学】解説

平均56.6点(前年比;-4.1点)
問題はコチラ→PDFファイル

大問1(小問集合)


4+(-8)
=4-8=-4


(-18)÷(-3)
=6


4(2a-b)-(-3a+b)
=8a-4b+3a-b
=11a-5b


6ab×(-3/2a)
=-9a2


(1-√5)2
=1-2√5+5
=6-2√5


2-x-3=0
因数分解ができないので解の公式。
x=(1±√13)/2



円周角定理より、∠ACB=70÷2=35°
△BCPで外角定理→∠APB=35+65=100°


3枚の硬貨を投げて表・裏がでる結果→23=8通り
すべて裏がでる→1通り
少なくとも1枚は表→8-1=7通り
7/8


円柱の体積…r×r×π×2r=2πr3
球の体積…4/3πr3
2πr3÷4/3πr3=3/2倍

*本問は選択肢問題なのでありがたいが、分母分子を逆にしないように!
球の何倍かだから、球の体積が分母(割る数)にくる。

⑩(1)
相対度数は小数で求める。
3÷15=0.20
*公式解答では0.20とあるが、0.2でも間違いにはならないと思う。

(2)
階級値×度数を足して総和を求め、それを15で割る。
(10×0+30×1+50×6+70×4+90×3+110×1)÷15
=990÷15=66点

大問2(標本調査&方程式)


無作為に取り出した25個のうち、模様入り:単色=6:19
全体は500個なので、6×500/25=120


②(1)
個数と値段で連立。
x+y=500 …①
7x+3y=2000 …②

(2)
うえの連立を解く。
②-①×3
 7x+3y=2000
-)3x+3y=1500
 4x   =500
x=125
①に代入、y=500-125=375
模様入り…125個、単色…375個


大問3(関数)


ア:a>0の比例。右上のグラフで、xが増加すればyも増加する。〇
イ:a<0の一次関数。右下のグラフで、xが増加すればyは減少。×
ウ:a>0の反比例。双曲線を描き、xが増加すればyは減少。×
エ:a<0の放物線。上に凸のグラフで、x=-3のときy=-9、
x=1のとき、y=-1で、yの値は増加する。〇

ア・エ

②(1)
変化の割合からaを求める。
y=ax2より、x=-2のとき、y=4a
x=4のとき、y=16a
16a

(2)
続き。
答案では過程も記述する。
変化の割合=(yの増加量)/(xの増加量)
(16a-4a)/{4-(-2)}
=12a/6=2a=1
a=1/2


y=1/2x2にx=-2を代入。
A(-2、2)
変化の割合は1ということは斜め45度

直角二等辺三角形を作成。
Aから下に2、左に2で、C(-4、0)
-4

④(1)

OHを回転の軸として台形OHACをグルっと回すと円錐台になる。
△IAH∽△ICOで、ともに直角三角形。IO=4cm
大きい円錐から上の小さい円錐を引く。
辺の比1:2→体積比1:8
小さい円錐の体積を【1】とすると、円錐台の体積は【7】。
4×4×π×4÷3×7/8=56/3πcm3

(2)
今度は表面積を求める。
上と下は円。2×2×π+4×4×π=20πcm2
問題は側面積。
△ICOは1:1:√2の直角三角形→IC=4√2

中心角は〔=×半径/母線〕で処理。
辺の比1:2→面積比1:4から、求積すべき範囲は【3】。
4√2×4√2×π×4/4√2×3/4=12√2πcm2
したがって、20π+12√2π=
(20+12√2)πcm2

大問4(文章題)


垂線の作図。
教科書通りの作図なので必答。
1:Aに針を合わせて弧を描く。
2:ℓとの交点から弧を2つ描く。
3:その交点とAを結ぶ。


OA:AB=4:5だから、
AB=12×5/4=15m

③(1)
OC:CD=2:3
ODは右に2、上に3なので、傾きは3/2。
OD;y=3/2x
3/2x

(2)

y=3/2xにx=15を代入し、Dのy座標を求める。
y=3/2×15=45/2

(3)
点Eのx座標を求める過程を書く。
Eのy座標が45/2なので、これをy=5/4xに代入。
45/2=5/4x
x=18
点Eのx座標は18。


『図3をもとに図4を作成』とあるので、数値は先ほどの図を用いる。

FPとx軸との交点をQとする。
四角形FQODは2組の対辺が平行な平行四辺形。
QO=FD=3m
QFの傾きはODと同じ3/2だから、QO:OP=2:3
OP=3×3/2=9/2m

@日照権@
太陽の光を享受する権利を日照権という。日照権を明文化した法律はないが、建築基準法では本問のような斜線制限や日影規制の定めにより、最低限度の採光を確保する仕組みはとられている。
また、
建築制限に違反していなくても、社会通念上受任すべき限度を超えた場合(受忍限度論)も損害賠償請求や建築差止め請求ができる可能性がある。よほど酷い場合でないと無理っぽいが。。


大問5(平面図形)


平行四辺形になる条件
1;2組の対辺が平行である。
2;2組の対辺の長さが等しい。(エ)
3;2組の対角の大きさが等しい。
4;対角線が各々の中点で交わる。(イ)
5;1組の対辺が平行で、かつ長さが等しい。(ア)

対角線の長さが等しく、垂直に交じっても平行四辺形とは限らない。

②(1)
△AFE∽△BFGの証明。

AE//BGから、同位角で∠EAF=GBF
共通角より、∠AFE=∠BFG
2角が等しいので∽。
*書きやすいので証明が苦手な人も正解したい。

(2)
BがAFの中点→△AFEと△BFGの辺の比は1:2。
BG=1/2AE
1/2
*AE=②とすると、BG=ED=①となり、BG=EDとなる。

③(1)
DE=15×1/3=5cm
△DEHの底辺DE、高さがHPなので、△DEHの面積が知りたい。

前問でBG=EDであった。
AD//BCの錯角から、1辺と両端角相等より△BGH≡△DEH
DH=EH=BH=GH
 
Hを通るADに平行な線を引き、ABとの交点をIとする。
Hは対角線BDの中点。△ABD∽△IBHよりAI:IB=1:1
△BGHを△BGIに等積変形。
△BGIと△BGFの面積比→IB:BF=1:2
指針;【△BGF⇒△BGI=△BGH=△DEH
△BGI(△DEH)の面積は、20√6×1/2=10√6cm2
よって、PHは、10√6×2÷5=4√6cm

(2)

PHを延長し、BCとの交点をQとする。
PHもHQは合同な二等辺三角形の高さ→PH=HQ
PQ=4√6×2=8√6cm

二等辺の頂角から底辺におろした垂線は底辺の中点を通る+合同な二等辺→PE=QB
つまり、PQを下方向に平行移動させるとBEになる
△ABEで三平方。
AB2=102+(8√6)2=100+384=484
AB=22cm

大問1
おそらく正解率は高いと思われるので、8~9割以上は確保しておきたい。
⑨円柱と球の体積を求めて割り算。選択でなくても解けるようにしておきたい。
大問2
ここも基本なので取りたい。
標本調査は取り出した25個のうち、模様入りは6個であるとわかれば、あとは割合計算。
大問3
オーソドックスな設問が多い。
④回転体の体積だけは何とか求めておきたい。
円錐台の体積は公立高校入試でもよくでてくる。
(2)表面積の計算は手際の良さが求められる。
中心角は×半径/母線は使えるようにしておくこと。そうなる理由も知っておきたい。
大問4
岡山名物。今年は日照に関する建築規制が出題された。
問題文が長いので、上位校狙いは大問3まではスピードを重視したい。
設問の中身はそれほど難解ではなく、計算処理も少ない。
図に数字を記入すること!
大問5
②(1)証明は平易であった。
③(1)Hが対角線BDの中点(平行四辺形の中心)にあることに気付きたい。
△DEHはどこと面積が等しいのか。離れている△BGFにつなげる。
(2)平行四辺形の高さではなく、ABを1辺とする直角三角形→三平方で攻める。
BEに補助線を描けたか否か。

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