2024年度　西大和学園高校過去問【数学】大問１解説

問題ＰＤＦ
（１）

（２）

（３）
サイコロを２回投げ、１回目に出た目の数を十の位の数、２回目に出た目の数を10から引いた数を一の位の数とする２けたの整数ｍを考える。ｍが３の倍数である確率と、ｍが素数である確率を求めよ。

（４）
直線４ｘ＋５ｙ＝２、ａｘ＋３ｙ＝０の交点をＰとし、直線－ｘ＋２ｙ＝７、５ｘ＋ｂｙ＝－１の交点をＱとすると、Ｐ、Ｑは原点に関して対称になった。このとき、ａ、ｂの値を求めよ。

（５）
３つの数ａ、ｂ、ｃが次の３つの式を同時に満たすとき、18ａの値を求めよ。

＠解説＠
（１）

－５√５/48
*代入するときのポイントです。
（√２）¹²＝２⁶＝４³＝64
（√５）⁷＝（√５）⁶・√５＝125√５

（２）

左辺を通分すると分母にルートがくるので、２乗して根号を外す。
整理すると、（ｙ－ｘ）²＝９ｘｙ

５ｘ²＋５ｙ²の部分で（ｙ－ｘ）²をつくる。
*平方完成のやり方で、－２ｘｙを＋２ｘｙで打ち消す。
＋２ｘｙをカッコの外に出すとき、５倍して＋10ｘｙになる。

分子は45ｘｙ－44ｘｙ＝ｘｙとなり、約分して１。

（３）

十の位は１～６。
一の位は10から引く→10－１＝９、10－６＝４→４～９

一の位は連続する６つの整数→３の倍数は２個ずつある。
（３の倍数＋１、３の倍数＋２から始まっても必ず２個）
３の倍数は全部で６×２＝12個だから、確率は12/36＝１/３
素数なので一の位は７か９。
【17・19・29・37・47・59・67】の７個、確率は７/36
１/３、７/36

（４）

未知数のａ、ｂを含まない、４ｘ＋５ｙ＝２と－ｘ＋２ｙ＝７に絞る。
ｙについて解くと、ｙ＝－４/５ｘ＋２/５上にＰが、ｙ＝１/２ｘ＋７/２上にＱがある。
Ｐ、Ｑそれぞれのｘ座標をｔ、ｓとすると、Ｐ（ｔ、－４/５ｔ＋２/５）Ｑ（ｓ、１/２ｓ＋７/２）
これらが原点対称だから、
ｔ＝－ｓ　…①
－４/５ｔ＋２/５＝－（１/２ｓ＋７/２）
－８ｔ＋５ｓ＝－39　…②
①を②に代入、８ｓ＋５ｓ＝－39
ｓ＝－３
①より、ｔ＝３

Ｐのｘ座標は３。
これを４ｘ＋５ｙ＝２に代入→Ｐ（３、－２）
ａｘ＋３ｙ＝０にＰ座標を代入。
３ａ－６＝０
ａ＝２

ＱはＰと原点対称だからＱ（－３、２）
５ｘ＋ｂｙ＝－１にＱ座標を代入。
－15＋２ｂ＝－１
ｂ＝７
（ａ、ｂ）＝（２、７）

（５）
パンチが効いている(;`ω´)

左辺の係数は2021・2022・2023が１個ずつズレている。
1011/1012＝2022/2024に変えると、右辺の合計がちょうど１。
①＋②＋③をする。2021＋2022＋2023＝6066だから、
6066ａ＋6066ｂ＋6066ｃ
＝6066（ａ＋ｂ＋ｃ）＝１
ａ＋ｂ＋ｃ＝１/6066　…④

また、①と③は１/2024で値が同じ。
2021ａ＋2022ｂ＋2023ｃ＝2023ａ＋2021ｂ＋2022ｃ
２ａ－ｂ－ｃ＝０
２ａ＝ｂ＋ｃ　…⑤

⑤を④に代入するとａだけになる。
ａ＋ｂ＋ｃ
＝ａ＋２ａ
＝３ａ＝１/6066　←６倍
18ａ＝１/1011
国私立高校入試解説ページに戻る