2020年度 慶應義塾高校過去問【数学】大問6解説

下の図は、1辺の長さ6aの正多角形の面のみでできた立体の展開図である。

完成した立体の表面に沿って点Pと点Qを最短経路でつないだとき、
最短距離の長さを求めよ。


@解説@
難問です。
幾何に卓抜している人以外はスルー推奨…。

PQが最短となる位置関係を探るが…PとQが離れていて辛い(-_-;)
接する辺に注意してPをQ側へ寄せてみる。

Pは正方形の辺上の点でもある。
正方形と正六角形の2つだけを右下へ移動してみた。

しかし、これで満足してはならぬ( ‘д’⊂彡☆))Д´) パーン
まだPを近くに寄せられるか検証する。

展開図に目を凝らすと、正方形の4辺それぞれに別々の正六角形がくっつく構図になっている。
そこで、正方形の右側に正六角形を新調し、こちらに点Pを移動してみる。
すると右図のようになる。さっきよりPQが短くなったような気がする…。

さらに、Pがある正六角形を左上に傾け、3つの正六角形でPQをとらえることも出来る。
これ以外はないはず。マジで面倒くさい。

整理。
どれが一番短いでしょうか?⊂(^ω^)⊃

いちいち全部の長さを求める時間はないので感覚も必要。
【1】はQR=2a、PRは2a+正六角形の高さ2つ分。
【3】のPRにも正六角形の高さ2つ分が含まれるが、
細かく分析すると剰余の長さが2a未満(青線が2a)。
QRは2aを超えるが、QRよりPRを短くとった方がPQが短くなる。
【3】の方が短い(はず)。

【2】と【3】を比較。
【3】の図に【2】を写すと視覚的に【2】の方が短い。
2つのQを通る長方形を描くと縦長になり、【2】のQがPに近いと思う。

■追記■

こっちの比較のほうがわかりやすいかな?
③より②が短い。
ということで、【2】を選択します(*´ェ`*)

ここまでたどりつけても難所はつづく。。
2つの正六角形の辺が平行であることを利用して、Pを正六角形の頂点に移動。
PQの移動先をP’Q’とおく。

STは正六角形の対角線で12a。
Q’T=4a
直角三角形Q’UTは内角が30°-60°-90°→辺の比が1:2:√3でQ’U=2a
RQ’=ST-Q’U=12a-2a=10a
RP’は1:2:√3の直角三角形3つと正方形の1辺を合計して(6+8√3)a。

最後に計算だが、この三平方もシビア・゚・(゚`Д´゚)・゚・

解答は二重根号の形になります。
最後のaはルートに含みません。328と96はともに4の倍数なのでルートの右側は2。
PQ=2√(82+24√3)a
ところで何名正解できたワケ?(#^ω^)💢

@余談@

パラメトロン計算機より。
本問の図形は切頂八面体といって、正八面体の頂点を切り落としてできる図形です。

↑P・Qを空間で示すとこんな位置関係。
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