2024年度　都立青山高校過去問【数学】大問３解説

問題ＰＤＦ
下の図１で、△ＡＢＣは鋭角三角形である。
辺ＡＢの中点をＤとし、頂点Ｃと点Ｄを結ぶ。
点Ｅは、線分ＣＤ上にある点で、頂点Ｃと点Ｄのいずれにも一致しない。
頂点Ａと点Ｅを結ぶ。次の各問に答えよ。

〔問１〕
下の図２は、図１において、頂点Ｂと点Ｅを結び、ＡＤ＝ＤＥの場合を表している。
∠ＡＥＢの大きさは何度か。

〔問２〕
下の図３のおうぎ形ＢＡＣは、図１において、△ＡＢＣが正三角形のとき、
辺ＡＢを、頂点Ｂを中心として、時計回りに60°回転移動させてできたおうぎ形である。
ＡＢ＝４ｃｍ、点Ｅが辺ＣＤの中点のとき、斜線で示された図形の面積は何ｃｍ²か。

〔問３〕
下の図４は、図１において、ＡＣ＞ＢＣ、ＡＥ＝ＢＣの場合を表している。
∠ＢＣＤと等しい角を次の①、②、③のうちから１つ選び、選んだ角が∠ＢＣＤと等しいことを証明せよ。
①∠ＡＣＥ　②∠ＡＥＤ　③∠ＣＢＤ

＠解説＠
〔問１〕

ＡＤ＝ＤＥ＝ＤＢ
Ａ・Ｅ・ＢはＤから等距離にある→これらを半径とした円をつくる。
直径ＡＢに対する円周角より、∠ＡＥＢ＝90°

〔問２〕

△ＤＢＣの辺の比は１：２：√３→ＣＤ＝２√３ｃｍ
ＥＤ＝２√３÷２＝√３ｃｍ
【扇形ＡＢＣ－△ＡＤＥ－△ＤＢＣ】
＝４×４×π×１/６－２×√３÷２－２×２√３÷２
＝８/３π－３√３ｃｍ²

〔問３〕
中学受験っぽい問題です。

△ＡＥＤと△ＢＣＤは同じ形（相似）ではなさそう…。
ＡＥ＝ＢＣを活用すべく、△ＡＤＥをＤを中心に回転させると、
右側に二等辺三角形が見える。

下の点をＦとすると、ＢＣ＝ＢＦから△ＢＣＦは二等辺。
△ＡＤＥ≡△ＢＤＦの対応する角につなげて、∠ＢＣＤ＝∠ＢＦＤ＝∠ＡＥＤ（②）

Ｆの位置を決めたい。
もし、△ＡＤＥ≡△ＢＤＦならば対応する角が等しいので、
∠ＥＡＤ＝∠ＦＢＤ（×）
錯角が等しいから、ＡＥ//ＦＢがいえる。

証明の手順は、
Ｂを通るＡＥに平行な線をひき、ＣＤの延長との交点をＦとする。
対頂角の∠ＡＤＥ＝∠ＢＤＦ、ＡＥ//ＦＢの錯角で∠ＥＡＤ＝∠ＦＢＤ
仮定のＡＤ＝ＢＤから、１辺と両端角が等しいので△ＡＤＥ≡△ＢＤＦ
ＡＥ＝ＢＦ＝ＣＢとなり、△ＢＣＦは二等辺三角形。
二等辺の底角と合同の対応する角で、∠ＢＣＤ＝∠ＡＥＤが導ける。

＠＠
公式解答を貼り付けておきます。

公式ではＡＥ側で二等辺ＡＦＥを作っています。
国私立高校入試解説ページに戻る