2020年度 ラ・サール高校過去問【数学】大問3解説

A、B2人がP地を出発してQ地へ向かい、Q地に到着するとすぐP地へ引き返す。
AはBより15分遅れて出発したが、Q地より2km手前の地点で追いつき、
その9分後にQ地に向かうBと再び出会った。
その後、AがP地に到着したとき、BはP地より4km手前の地点をP地に向かっていた。
A、B2人の速さは毎時何kmか。また、PQ間は何kmか。


@解説@
あらかじめ宣言しておきます。
算数でやるよ!

まずは情報整理。ダイヤグラムでまとめてみよう。

情報量が少ない(;´Д`)

ポイントはQの手前2km…Pの手前4km…

AがBに追いついた★に注目しよう。
Bが移動した距離を考えると、Bの出発から★まではPQ-2km。
Bの出発からグラフの最後まではPQ×2-4=2×(PQ-2)km!
Bの速さは一定で距離が2倍ということは、★はBの移動距離のちょうど真ん中にあたる
言い換えれば、B出発~★までの時間と、★~グラフの最後までの時間が等しい

Q地点を対称の軸として、うえにもう1つのダイヤグラムを線対称で追加。
時間が等しい=横軸が同じなので、緑の斜線で示した2つの三角形が合同になる。
4kmを左下に移動。
AはBより15分遅れで出発したが、仮にAとBが同時に出発したと仮定すると
AがBの4km後方からスタートして競走すればうえのグラフのようになる
左下に注目。Aは15分で4km移動するから、速さは4×60/15=時速16km

つぎに、まだ使っていない9分を検証。

AがBに追いついてから再び出会うまでに両者が動いた距離の合計は2km×2=4km
A+Bの速さは9分で4km移動→4×60/9=時速80/3km
Bの速さは、80/3-16=時速32/3km

仮にAがBの4km後方からスタートしたとする。
両者は1時間あたり、16-32/3=16/3kmずつ差が縮まる。
4km÷16/3=3/4時間
→Bが出発してから3/4時間後に★でAに追いつかれる。
P地から★までの距離は、
32/3×3/4=8km
PQ間の距離は8+2=10km

Aの速さ…毎時16km、Bの速さ…毎時32/3km、PQの距離…10km
*算数サイコー!(σ’д’)σYeah!
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