2020年度 都立日比谷高校過去問【数学】大問4解説

下の図1に示した立体OABCは、OA⊥OB、OB⊥OC、OC⊥OA、
OA=OB=6cm、OC=8cmの四面体である。

(1)
辺ABの中点をDとし、頂点Cと点Dを結び、線分CDの中点をEとし、
点Eから平面OABに垂直な直線を引き、平面OABとの交点をFとし、
頂点Oと点Fを結んだ場合を考える。線分OFの長さは何cmか。

(2)

上の図2は、図1において、辺BC上にある点をGとし、頂点Oと点G、
頂点Aと点Gをそれぞれ結んだ場合を表している。
△OAGの面積が最も小さくなる場合の面積は何cm2か。

(3)

上の図3は、図1において、辺OA上にある点をH、
辺OB上にある点をIとした場合を表している。
OH=2cm、OI=5/2cmのとき、点Hを通り辺OBに平行な直線と、
点Iを通り辺OAに平行な直線との交点をJとする。
点Jを通り、辺OCに平行な直線と平面ABCとの交点をKとし、
点Kと頂点O、点Kと頂点A、点Kと頂点B、点Kと頂点Cをそれぞれ結ぶ。
四面体KOABの体積をVcm3、四面体KOACの体積をWcm3とする。
このとき、V:Wを最も簡単な整数の比で表せ。


@解説@
(1)

問題文に沿ってD、E、Fを図示。
△COD∽△EFDで、CE:ED=OF:FD=1:1
OFの長さはODの半分

△OABは直角二等辺で、頂角Oと底辺ABの中点Dを結んだ線分ODは底辺ABと直交する。
△OADも直角二等辺三角形
△OADで三平方→1:1:√2より、6×1/√2=3√2cm

よって、OF=3√2÷2=3√2/2cm

(2)
入試では解答だけでなく、答えを求める過程も記述する。

△OAGの面積が最小となるGはどこだろう?(´ω`).。0
下のような気がするけど、Bに近づくほど面積が大きくなってしまう。

ポイントはOA⊥OB、OA⊥OCから、線分OA⊥面OBCであること!
OGは面OBC上にあるので、OA⊥OGが成り立つ
つまり、△OAGの底辺をOAとするとOGが高さとなり、
OGが最も短くなるケースを考えればいい。

それはOGがOとBCの距離、すなわち、OG⊥BCのとき。
直角と共通角→2角が等しく△BOC∽△BGO
△BOCの辺の比は3:4:5だから、OG=6×4/5=24/5cm
したがって、△OAGの面積は、6×24/5÷2=72/5cm2

(3)

四面体をK-OAB(V)、K-OAC(W)、K-OBCに分割。

K-OAC(W)…6×8÷2×5/2÷3=20cm3
K-OBC…底面積の△OBCの面積は、K-OACの△OACと同じ。
高さの比がK-OAC:K-OBC=5/2:2=5:4なので、20×4/5=16cm3
四面体(全体)…6×6÷2×8÷3=48cm3
K-OAB(V)…48-(20+16)=12cm3

したがって、K-OAB(V):K-OAC(W)=12:20=3:5
ラストの問題なのにあっけなく終わったのは、王道の解き方ではないからか??(;`ω´)
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