2025年度　早稲田大学高等学院過去問【数学】大問４解説

問題ＰＤＦ
１辺の長さが２の正方形ＡＢＣＤと、この正方形と同じ平面にある点Ｐに対して、

　Ｓ＝△ＡＢＰ＋△ＢＣＰ＋△ＣＤＰ＋△ＤＡＰ

とおく。ここで、△ＸＹＺは、３点Ｘ、Ｙ、Ｚを頂点とする三角形の面積を表す。
ただし、３点Ｘ、Ｙ、Ｚが同じ直線上にある場合は、△ＸＹＺ＝０とする。
このとき、次の問いに答えよ。

（１）
点Ｐが、正方形ＡＢＣＤの内側にあるとき、Ｓの値を求めよ。

（２）
４点Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄを通る円の弧ＣＤのうち、短い方を弧ａとする。
点Ｐが、弧ａ上で２点Ｃ、Ｄから等距離の位置にあるとき、Ｓの値を求めよ。

（３）
正方形ＡＢＣＤの対角線ＡＣと平行で、辺ＡＤの中点を通る直線をℓとする。
点Ｐが、直線ℓ上の点で正方形ＡＢＣＤの外側にあり、かつＡＰ＝√10/２のとき、Ｓの値を求めよ。

（４）
４≦Ｓ≦８のとき、点Ｐが動きうる範囲の面積を求めよ。

＠解説＠
（１）

（２）

弧ａは右側の弧ＣＤ
Ｃ、Ｄから等距離にある→ＣＤの垂直二等分線上にある。
Ｐの位置は上図になる。

△ＡＢＰ＋△ＢＣＰ＋△ＤＡＰ＝五角形ＡＢＣＰＤ＝正方形ＡＢＣＤ＋△ＣＤＰ
これに△ＣＤＰを加えるとＳだから、
Ｓ＝正方形ＡＢＣＤ＋△ＣＤＰ×２
つまり、Ｓの値は正方形の面積４に、正方形の外部にある三角形２つ分を足せばいい。
△ＣＤＰの面積が知りたい。

円の中心をＯ、ＯＰとＣＤの交点をＥとする。
ＯＥ＝２÷２＝１
△ＯＤＥは直角二等辺→ＯＤ＝√２
半径よりＯＰ＝√２だから、ＥＰ＝√２－１
Ｓ＝４＋２×（√２－１）÷２×２＝２＋２√２

（３）

ＡＣ//ℓ→ℓとＣＤの交点●はＣＤの中点。
直線ℓ上のＰはどこにあるか。
Ａから●までの距離は√５
√10/２・√５　←２倍
√10・２√５
√10＜√20なので、●まで届かない→Ｐは左上にある。

また、√10/２・１　←２倍
√10・２
√10＞√４なので、ＰはＡより左側にある。

ℓとＡＤの交点をＥとすると、ＡＥ＝１
∠ＰＥＡ＝45°に着目。
ＡからＰＥに垂線をおろし、交点をＦとする。
△ＡＥＦは直角二等辺→ＡＦ＝ＦＥ＝√２/２

ＰＡ：ＡＦ＝√10/２：√２/２＝√５：１
△ＰＡＦの辺の比で三平方→ＰＦ＝２＝√２
△ＰＡＥは底辺ＰＥ、高さＡＦ。
ＡＥ＝ＥＤより、△ＰＡＥ＝△ＰＥＤだから、
△ＰＡＤの面積は、３√２/２×√２/２÷２×２＝３/２

△ＰＡＢを求める。ここも∠ＰＥＡ＝45°を手がかりにする。
ＥＡを延長、Ｐから垂線をひき、足をＧとする。
△ＰＥＧは直角二等辺→ＧＥ＝３/２
ＧＡ＝３/２－１＝１/２
△ＰＡＢは底辺ＡＢ、高さＧＡ。面積は２×１/２÷２＝１/２
Ｓ＝正方形ＡＢＣＤ＋正方形の外側（△ＰＡＤ＋△ＰＡＢ）×２
＝４＋（３/２＋１/２）×２
＝８

（４）
（１）より、Ｐが正方形内部にある場合、常に最小値Ｓ＝４になる。
最大値Ｓ＝８となる外周さえ確定すれば、求積すべき範囲がわかる。

Ｐが正方形の外側にある場合、Ｓ＝正方形（４）＋外側×２＝８
外側の面積が２になればいい。
正方形の辺から距離２離れた直線上にＰがある。

問題は角のところがどうなるか。
前問に目を向けると、Ａから左に１/２、上に３/２の場所にＰがあった。
横＋縦＝２で一定で、回転対称の図形から青線ではないか？
　
△ＰＢＤで考えるとわかりやすい。
△ＰＢＤ－△ＡＢＤ＝△ＰＡＢ＋△ＰＡＤ
等積変形で△ＰＢＤは一定。△ＡＢＤも一定。
一定から一定を引いたら一定。
外側の△ＰＡＢ＋△ＰＡＤは２で一定である。

求積すべき範囲は八角形になる。
２×２×５＋２×２÷２×４＝28