2020年度 ラ・サール高校過去問【数学】大問2解説

(1)
座標平面上に2点A(1、0)、B(0、2)があり、
直線y=1/4x+kとx軸との交点をCとする。
直線y=1/4x+kが∠ABCを二等分するとき、定数kの値を求めよ。

(2)

放物線y=1/3x2と直線y=1/3x+kが上図のように2点A、Bで交わっている。
直線y=1/3x+kとy軸との交点をCとし、原点をOとする。
AC:CB=5:3のとき、定数kの値、および三角形OABの面積Sを求めよ。

(3)
12、330、1221のように2種類の数字のみからなる正の整数について、次に答えよ。
(ア)このような整数で2けたのものはいくつあるか。
(イ)このような整数を小さい順に並べたとき、2020は何番目か。

(4)

上図のように、長方形ABCDの各辺を直径とする半円との交点で作られる
長方形EFGHの面積は、長方形ABCDの面積の何倍か。
ただし、BC、ADを直径とする半円は、それぞれ辺AD、BCと接している。


@解説@
(1)

↑y=1/4x+kとy軸の交点をDとしてグラフを描くとこうなる。
OD=k
傾き1/4→変化の割合が右に4、上に1→OC=4k
DB=2-k

等角をどう利用するか?→ズバリ、角の二等分線の定理
〔CO:CB=OD:DB〕
4k:CB=k:2-k
CB=(2-k)×4k/k=-4k+8 …①

一方で、△BOCに三平方を適用。
CB2=(4k)2+22
CB2=16k2+4 …②
(CBの値は右辺の処理が難しいのでこのままで保留しておく)

①を2乗。
CB2=(-4k+8)2=16k2
-64k+64 …③
②と③でCB2を通じて等式。
16k2+4=16k2-64k+64
64k=60
k=15/16

(2)

AC:CB=5:3
Aのx座標を5t、Bのx座標を-3tとする。
A(5t、25/3t2)B(-3t、3t2

うえのように△ABDをつくる。
変化の割合=yの増加量÷xの増加量
=(25/3t2-3t2)÷{5t-(-3t)}
=16/3t2÷8t=2/3t
これが傾き1/3に等しい。
2/3t=1/3
t=1/2

B座標に代入→B(-3/2、3/4)
これをy=1/3x+kに代入。
3/4=1/3×(-3/2)+k
k=5/4

△OABは底辺が8t=4、高さ5/4だから、
S=4×5/4÷2=5/2
k=5/4、S=5/2

(3)ア
2桁の整数は10~99の90個。
このうち、1種類の数字しか使わないゾロ目は11、22、33…99の9個。
90-9=81個


3桁を考える。
気をつけるべき点は最高位に0が使えないこと
そこで0を含むか含まないかで場合分け。
■0を含む。
百の位は1~9の9通り。
百の位が1のとき、〔100・101・110〕の3通りだから、
全部で3×9=27個
■0を含まない。
2種類の数字をA、Bとする。
Aが2つ入る並び方は〔AAB〕〔ABA〕〔BAA〕の3通り。

Aに入る数字は1~9の9通り。A、Bに入る数字の組み合わせは9×8=72通り
(Bが2つ入る並びは、AとBに入れる数字を逆にしてカウントしている)
全部で72×3=216個
よって、3桁の数は27+216=243個

つづいて、千の位が1の数を考える。

1以外の他の数をCとする。
それぞれの位は1orCの2通り。1111は1種類だけなので除く。
2×2×2-1=7通り
Cは1以外で9通りだから、全部で9×7=63個

最後に千の位が2で2020までを数える。
千の位は2、百の位は0なので、使用すべき数は0と2で決まる。
〔2000・2002・2020〕で3個

したがって、2020は81+243+63+3=390番目

(4)
難しい(#゚Д゚)
どこの長さもわかっておらず、初手がつかみにくい。

Eは大きい半円と小さい半円の交点。
直径に対する円周角は直角だから、∠AEB=∠BEC=90°となり、AECは一直線。
Gについても同様のことが言え、EとGは長方形ABCDの対角線AC上にある

2つの長方形の対角線が同一直線上にあると、長方形の縦と横の辺は平行関係にある。
つまり、2つの長方形は

×=90°で角度の調査。
△ABC∽△AEB∽△BEC

相似比を確定したいが、長さがどこもわかっていない。
手がかりは2種類の半円の直径。
小さい半円の直径AB=とすると、大きい半円の直径BC=
直角三角形ABCの縦:横=1:2となる。

直角三角形AEBにおいて、AE=とするとBE=
直角三角形BECにおいて、BE=からEC=
△AEBと△CGDは対称性から合同→CG=AE=
EG=
長方形ABCDと長方形EFGHの辺の比は対角線の比AC:EG=
面積比は辺の比の2乗→25:9
したがって、長方形EFGHの面積は長方形ABCDの9/25倍。

*半円というと、円の中心点から半径を作図するのが定石ですが、
本問は直角を使わないと解けない?と思うので、
直径に対する円周角→直角三角形の相似に焦点を当てたほうが良いと思います。
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