2022年度 都立日比谷高校過去問【数学】大問4解説

下の図1に示した立体A—BCDEは、底面BCDEがひし形で、AC=AE=BC=8cm、AB=ADの四角すいである。四角形BCDEの対角線BD、CEを引き、交点をOとし、頂点Aと点Oを結んだとき、∠AOB=90°である。四角形BCDEの面積をScm2とする。

問1
下の図2は、図1において、頂点Eから辺ACに垂線を引き、
辺ACとの交点をHとした場合を表している。
線分EHの長さは何cmか。Sを用いた式で表せ。

問2
下の図3は、図1において、辺AB上の点をPとし、点Pと頂点C、
点Pと頂点D、点Pと頂点Eをそれぞれ結んだ場合を表している。

(1)AP:PB=1:2、BD=12cmのとき、立体P―BCDEの体積は何cm3か。
ただし、答えだけでなく、答えを求める過程が分かるように、途中の式や計算なども書け。

(2)AP:PB=1:1のとき、△CEPの面積は何cm2か。
Sを用いた式で表せ。


@解説@
問1
ここで間違えると差が開いてしまう。

底面BCDE=Scm2と奇妙なところに文字がつけられている。
△ACEにおいて底辺をACとすると高さはEH。△ACEの面積が知りたい

3辺の長さが等しく、△BCE≡△ACE
△BCEは菱形BCDEの半分で1/2S。

△ACE=8×EH÷2=1/2S
EH=1/2S×2÷8=1/8S

問2(1)

菱形の対角線は各々を垂直に2等分する。
BO=12÷2=6cm
△BCOで三平方→CO=2√7cm
EC=2√7×2=4√7cm
菱形BCDEの面積は、12×4√7÷2=24√7cm2

前問の合同から、AO=BO=6cm
四角錘P―BCDEの高さは、6×②/③=4cm
体積は、24√7×4÷3=32√7cm3

(2)

斜めに傾いている△CEPの面積と底面の菱形BCDEを結び付けたい。
△CEB=1/2S
△CEBと△CEPはCEで底辺共通なので、高さのBO:POが面積比にあたる

BOとPOが同一平面にくる場所を探す⇒△ABOに着目する。
本問も問1がカギになる。
△CEB≡△CEA
よりBO=AOゆえ、△ABOは直角二等辺三角形
PはABの中点だから、△PBOも直角二等辺。
BO:PO=√2:1
したがって、△CEPの面積は、1/2S×1/√2=√2/4Scm2
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