2020年度 久留米大学附設高校過去問【数学】大問1解説

(1)
次の連立方程式を解け。
(x+3y):(4x-2y)=3:5
3x-5y=12

(2)
a=√3+√15、b=√3-√15のとき、の値を求めよ。

(3)

図のように、線分AB、CBを直径とする大小2つの半円があり、
小さい方の半円に点Aから接線を引き、2つの半円との接点と交点をそれぞれD,Eとする。
2つの半円のそれぞれの中心をO、O’とする。
∠AOE=100°であるとき、∠BDEの大きさを求めよ。

(4)
p+q=20、p>q>0を満たす異なる2つの正の整数p、qの組は9組ある。
この9組のうち、√p+√qの値が大きいほうから3番目となる組を求めよ。

(5)
4m3+n2=2020を満たす正の整数m、nは2組ある。その2組を求めよ。


@解説@
(1)
(x+3y):(4x-2y)=3:5 …①
3x-5y=12 …②

①内項と外項の積より、
3(4x-2y)=5(x+3y)
12x-6y=5x+15y
7x=21y
x=3y …③

②に代入。
3×3y-5y=12
4y=12
y=3
③に代入。x=3×3=9
x=9、y=3

(2)
高校レベルに突っ込んでる(;’∀’)
対称式を使います。
a+b=(√3+√15)+(√3-√15)=2√3
ab=(√3+√15)(√3-√15)=32-152=-12
式の変換ではa+bとabだけの形に持っていく。

*a2-ab+b2=a2+2ab+b2-3ab=(a+b)2-3ab

(3)

△AEOは半径より二等辺→∠EAO=(180-100)÷2=40°
O’Dに補助線
半径と接線は直交するので、∠ADO’=90°
△ADO’の外角定理から、∠DO’B=40+90=130°
△O’DBも半径より二等辺→∠DBO’=(180-130)÷2=25°
△ADBで外角定理→∠BDE=40+25=65°

(4)
(p、q)=(19、1)(18、2)(17、3)…(11、9)の9通り。

1辺が√pと√qの正方形があり、2つの面積の合計は20で一定。
このとき、√p+√qの長さがMaxになるのはどういうときだろう?(‘Д’)
…勘のイイ人はすぐ思いついてしまう(^^;

極端なケースを想定する。
条件はq>0だが、仮にq=0にしてpの面積を20とすると、√p=√20
p>qを無視して、仮にp=q=10とすると、√p+√q=√10+√10=2√10=√40
√20<√40だから、pとqの面積が等しい場合に近いほど、長さの和が長くなるはず!
ということは、√p+√qにおいて最も値が大きいのは√11+√9、
2番目は√12+√8、3番目は√13+√7となる。
(p、q)=(13、7)

(5)
難しい(´゚ω゚`;)
4m3+n2=2020
2=2020-4m3
2=4(505-m3
左辺のn2が平方数。
4も平方数なので、505-m3も平方数になるはず。
3乗が曲者だが…8×8×8=512なのでmは7以下。
m=1⇒505-1=504×
m=2⇒505-8=497×
m=3⇒505-27=478×
m=4⇒505-64=441=21×21〇
m=5⇒505-125=380×
m=6⇒505-216=289=17×17〇
m=7⇒505-343=162×
*20までの平方数は暗記しておくのがベター。
m、nは2組しかないとあるので、もう1個がでれば終了。

nの値は素因数に注目。(4=2×2の2だけを抜き出す)
m=4のとき、n=2×21=42
m=6のとき、n=2×17=34
(m、n)=(4、42)(6、34)
他に良い解法を編み出した方は、ぜひお問い合わせかコメント欄でお知らせ願いますm(_)m
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