2024年度　都立立川高校過去問【数学】大問３解説

問題ＰＤＦ
下の図１で、△ＡＢＣは、∠ＡＣＢ＝90°の直角三角形である。
∠ＢＡＣの二等分線を引き、辺ＢＣとの交点をＤとする。
辺ＡＢをＡの方向に延ばした直線上にある点をＥとする。
∠ＣＡＥの二等分線を引き、辺ＢＣをＣの方向に延ばした直線との交点をＦとする。
次の各問に答えよ。

〔問１〕
頂点Ｃと点Ｅを結んだ場合を考える。
ＡＢ＝５ｃｍ、ＡＥ＝３ｃｍ、ＡＤ//ＥＣのとき、線分ＣＤの長さは何ｃｍか。

〔問２〕
下の図２は、図１において、点Ｄを通り辺ＡＢに平行な直線を引き、
辺ＡＣとの交点をＧ、線分ＡＦとの交点をＨとした場合を表している。

（１）△ＡＤＨ∽△ＡＦＤであることを証明せよ。

（２）頂点Ｂと点Ｈを結んだ場合を考える。
ＡＧ＝３ｃｍ、ＣＧ＝２ｃｍのとき、△ＢＤＨの面積は何ｃｍ²か。

＠解説＠
〔問１〕

ＡＤ//ＥＣの同位角と錯角で等角を移動する。
△ＡＣＥは２つの底角が等しい二等辺三角形。
ＡＥ＝ＡＣ＝３ｃｍ

△ＡＢＣは辺の比が３：４：５の直角三角形→ＢＣ＝４ｃｍ
△ＡＢＤ∽△ＥＢＣより、ＢＤ：ＤＣ＝⑤：③だから、
ＤＣ＝４×③/⑧＝３/２ｃｍ

〔問２〕（１）
△ＡＤＨ∽△ＡＦＤの証明。

共通角より、∠ＤＡＨ＝∠ＦＡＤ
∠ＢＡＤ＝∠ＤＡＣ＝●、∠ＣＡＦ＝∠ＦＡＥ＝×とする。
ＡＢ//ＨＤの錯角で、∠ＡＤＨ＝●
∠ＤＡＨ（●＋×）＝180÷２＝90°
△ＡＣＦの内角より、∠ＡＦＣ＝180－90－∠ＣＡＦ（×）＝●
よって、∠ＡＤＨ＝∠ＡＦＤ
２角相等で∽

＠＠
公式解答を貼り付けておきます。

（２）

錯角で移動させると、△ＡＤＧと△ＡＧＨは二等辺三角形。
ＡＧ＝ＤＧ＝ＧＨ＝３ｃｍ

△ＧＤＣで三平方→ＤＣ＝√５ｃｍ
△ＡＤＣで三平方→ＡＤ＝√30ｃｍ

△ＡＤＨで三平方→ＡＨ＝√６ｃｍ
∠ＤＡＨ＝90°だから、△ＡＤＨの面積は√６×√30÷２＝３√５ｃｍ²
ＡＢ//ＨＤの等積変形で、△ＢＤＨ＝３√５ｃｍ²
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