2025年度　堀川高校（探求学科群）過去問【数学】大問５解説

問題ＰＤＦ
袋の中に全部で５枚のカードがある。１が書かれたカード、２が書かれたカード、
４が書かれたカードがそれぞれ１枚あり、５が書かれたカードが２枚ある。
袋の中の５枚のカードから１枚を抜き出し、書かれた数字を確認してから袋の中に戻す操作を３回行う。
抜き出したカードに書かれた数を、抜き出した順にそれぞれａ、ｂ、ｃとする。
このとき、得点Ｘを次の規則[１]、[２]に従って定める。
ただし、どのカードの取り出し方も同様に確からしいとする。

規則[１]　ａ、ｂ、ｃがすべて異なるとき、Ｘはａ、ｂ、ｃのうちの最大でも最小でもない値とする。
規則[２]　ａ、ｂ、ｃのうちに重複しているものがあるとき、Ｘはその重複した値とする。

次はこの問いに対するＡさんとＢさんの会話である。
（  あ  ）（  い  ）（  う  ）（  え  ）にあてはまる正しい数値を求めなさい。

Ａ：得点Ｘを取る確率は、得点Ｘの値によって変わってきそうだよ。
Ｂ：そうだね。試しにＸ＝２になる確率を求めてみようか。
Ａ：ａ、ｂ、ｃがすべて異なり、得点が２である確率は（  あ  ）となる。
Ｂ：そっか。じゃあ、ａ、ｂ、ｃのうちに重複しているものがあり、得点が２である確率は（  い  ）だね。
Ａ：その通り。ということは、Ｘ＝２である確率は（  う  ）だね。
Ｂ：うん。こんな風に調べていくと、確率が最も高い得点は（  え  ）だとわかるわけだ。

Ｘ＝２→２番目は２
【１】【２】【４・５・５】
２が２番目の組み合わせは３通り（２枚ある５は区別する）
取った順にａ、ｂ、ｃと個性をつける→ａ～ｃの並び替え（順列）は３×２×１＝６通り
全部で３×６＝18通りだから、確率は18/125

（い）

２を重複させるパターンは、
Ⅰ：【２】【２】【２】→１通り
Ⅱ：【２】【２】【２以外】→組み合わせは４通り、並び替えて３通り→４×３＝12通り
全部で13通り、確率は13/125

（う）
Ｘ＝２は重複なしで18通り、重複で13通り。
全部で18＋13＝31通りだから、確率は31/125

（え）
先のやり方で調べていけばいい。

【１】【５】は２番目の数にならない→規則[２]だけ。
全部【１】は１通り
【１】【１】【１以外】の組み合わせは４通り、並び替えて３通り
全部で、１＋４×３＝13通り

【５】は２枚ずつある点に注意！
全部【５】は２³＝８通り
【５】【５】【５以外】の組み合わせは３通り、並び替えて３通り
全部で８＋２×２×３×３＝44通り

Ｘ＝１が13通り、Ｘ＝２が31通り、Ｘ＝５が44通り
余事象から【４】の確率は、125－（13＋31＋44）＝37通り
場合の数が最も多い【５】が確率が高い。
あ…18/125、い…13/125、う…31/125、え…５