2022年度　都立日比谷高校過去問【数学】大問３解説

問題ＰＤＦ
下の図１で、点Ｏは線分ＡＢを直径とする半円の中心である。
点Ｃは弧ＡＢ上にある点で、点Ａ、点Ｂのいずれにも一致しない。
点Ｄは弧ＡＣ上にある点で、弧ＡＤ＝弧ＤＣである。
点Ａと点Ｃ、点Ｄと点Ｏ、点Ｃと点Ｏをそれぞれ結ぶ。
線分ＡＣと線分ＤＯとの交点をＥ、点Ｄから線分ＣＯに垂線を引き、
線分ＣＯとの交点をＦ、線分ＤＦと線分ＡＣとの交点をＧとする。

問１
点Ｂと点Ｄを結んだ場合を考える。
∠ＡＯＣ＝88°のとき、∠ＯＤＢの大きさは何度か。

問２
下の図２は、図１において、点Ｂと点Ｃを結んだ場合を表している。
△ＡＢＣ∽△ＤＧＥであることを証明せよ。

問３
ＡＯ＝６ｃｍ、ＤＥ＝４ｃｍのとき、線分ＤＧの長さと線分ＧＦの長さの比
ＤＧ：ＧＦを最も簡単な整数の比で表せ。

＠解説＠
問１

弧ＡＤ＝弧ＤＣより、∠ＡＯＤ＝∠ＣＯＤ
∠ＡＯＤ＝88÷２＝44°
∠ＯＢＤは∠ＡＯＤの円周角だから、44÷２＝22°
半径でＯＢ＝ＯＤ、二等辺三角形ＯＢＤの底角で∠ＯＤＢ＝22°

問２
△ＡＢＣ∽△ＤＧＥの証明。

孤ＡＤ＝孤ＤＣより∠ＡＯＤ＝∠ＣＯＤ
半径でＯＡ＝ＯＣ、ＯＥは二等辺三角形ＡＯＣの頂角を二等分する線分で、
底辺ＡＣを垂直に２等分する。
∠ＤＥＧ＝90°

∠ＡＢＣは∠ＡＯＣの円周角だから、∠ＡＢＣ＝●
∠ＣＡＢ＝×とする。
△ＡＢＣの内角より●＋×＝90°
△ＤＯＦの内角で、∠ＯＤＦ（∠ＥＤＧ）＝180－（90＋●）＝×
∠ＣＡＢ＝∠ＥＤＧ
２角が等しいから∽。

問３

Ｃを右側に持ってきても角度の情報は一緒である。
 
１辺両端角相等で△ＡＯＥ≡△ＣＯＥ≡△ＤＯＦ
ＦＯ＝ＥＯ＝２ｃｍ、ＣＦ＝６－２＝４ｃｍ

同様に１辺両端角で△ＤＧＥ≡△ＣＧＦ
２角相等で△ＤＧＥ∽△ＤＯＦだから、ＤＧ：ＧＥ＝ＤＯ：ＯＦ＝６：２＝③：①
対応する辺で、ＧＦ＝ＧＥ＝①
したがって、ＤＧ：ＧＦ＝３：１
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