2022年度 都立日比谷高校過去問【数学】大問3解説

下の図1で、点Oは線分ABを直径とする半円の中心である。
点Cは弧AB上にある点で、点A、点Bのいずれにも一致しない。
点Dは弧AC上にある点で、弧AD=弧DCである。
点Aと点C、点Dと点O、点Cと点Oをそれぞれ結ぶ。
線分ACと線分DOとの交点をE、点Dから線分COに垂線を引き、
線分COとの交点をF、線分DFと線分ACとの交点をGとする。

問1
点Bと点Dを結んだ場合を考える。
∠AOC=88°のとき、∠ODBの大きさは何度か。

問2
下の図2は、図1において、点Bと点Cを結んだ場合を表している。
△ABC∽△DGEであることを証明せよ。

問3
AO=6cm、DE=4cmのとき、線分DGの長さと線分GFの長さの比
DG:GFを最も簡単な整数の比で表せ。


@解説@
問1

弧AD=弧DCより、∠AOD=∠COD
∠AOD=88÷2=44°
∠OBDは∠AODの円周角だから、44÷2=22°
半径でOB=OD、二等辺三角形OBDの底角で∠ODB=22°

問2
△ABC∽△DGEの証明。

孤AD=孤DCより∠AOD=∠COD
半径でOA=OC、OEは二等辺三角形AOCの頂角を二等分する線分で、
底辺ACを垂直に2等分する。
∠DEG=90°

∠ABCは∠AOCの円周角だから、∠ABC

∠CAB=×とする。
△ABCの内角より×=90°
△DOFの内角で、∠ODF(∠EDG)=180-(90+)=×
∠CAB=∠EDG
2角が等しいから∽。

問3

Cを右側に持ってきても角度の情報は一緒である。
 
1辺両端角相等で△AOE≡△COE≡△DOF
FO=EO=2cm、CF=6-2=4cm

同様に1辺両端角で△DGE≡△CGF
2角相等で△DGE∽△DOFだから、DG:GE=DO:OF=6:2=③:①
対応する辺で、GF=GE=①
したがって、DG:GF=3:1
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