2022年度 都立国立高校過去問【数学】大問4解説


上の図1に示した立体ABCD―EFGHは、1辺の長さが8cmの立方体である。
辺EFおよび線分EFをFの方向に延ばした直線上にある点をPとする。

(1)
 
上の図2は、図1において、点Pと頂点B、頂点Bと頂点G、
頂点Gと点Pをそれぞれ結んだ場合を表している。

①点Pが辺EF上にあり、立体P―BFGの体積が立体ABCD―EFGHの体積の1/10倍になるとき、EPの長さは何cmか。



上の図3は、図2において、EP=4cmのとき、線分BG上にあり、頂点B、頂点Gのいずれにも一致しない点をQとし、点Pと点Q、頂点Cと点Qをそれぞれ結んだ場合を表している。
PQ+QCの長さが最も短くなるとき、△PQGと△BQCの面積の和は何cm2か。
ただし、答えだけでなく、答えを求める過程が分かるように、図や途中の式などもかけ。

(2)

上の図4は、図1において、EP=24cmのとき、辺CD、辺AE、辺FGの中点をそれぞれL、M、Nとし、辺CG上にあり、頂点C、頂点Gのいずれにも一致しない点をIとし、点Mと点N、点Nと点P、点Pと点M、点Lと点M、点Lと点N、点Lと点P、点Iと点M、点Iと点L,点Iと点Pをそれぞれ結んだ場合を表している。
立体N―LMPと立体I―LMPの体積が等しいとき、IGの長さは何cmか。


@解説@
(1)①

立方体の体積を1とすると、三角柱ABC―EFGは1/2。
三角錐B―EFGは、1/2×1/3=1/6
三角錘B―PFGは1/10で、これは三角錘B―EFGの1/10÷1/6=3/5倍

2つの三角錘は高さBFと奥行きFGが共通なので、
体積比は横の長さであるEF:PFに相当する。
つまり、EF=⑤とするとPF=③で、EP=②となる。
EP=8×②/⑤=16/5cm



最短距離だが、面BCGと面BPGが変に曲がっておる(;`ω´)
△BCGは正方形BFGCの半分だから直角二等辺三角形。
△BPGはどうか。
ここで△BPFと△GPFに着目すると、
∠BFP=∠GFP=90°、BF=GF=8cm、共通辺PFより、
2辺とあいだの角が等しいので△BPF≡△GPF
BP=GPだから、△BPGは二等辺三角形である。
△BPFで三平方→BP=GP=4√5cm

四角形BPGCは、2つの二等辺三角形を合わせた図形。
CPを対称の軸とすると左右対称であり、BG⊥CP、BQ=GQ
△CQGは辺の比が1:1:√2の直角三角形だから、CQ=GQ=4√2cm
△PQGで三平方→QP=4√3cm

△PQG+△BQCは四角形BPGCの半分である。
対角線が直交するので菱形の面積に倣って、
8√2×(4√2+4√3)÷2÷2
=16+8√6cm2

(2)
これは難しいよ!< `∀´ >

三角錘N―LMPと三角錘I―LMP。
底面は△LMPで共通。
2つの三角錘の体積が等しいから、等積変形でIとNは面LMPからの距離がそれぞれ等しい
IN//面LMPがいえる。まずはこれを見抜けるか。

求めたいのはIG。
△INGの各辺と平行な3直線からなる三角形は、△INGと相似にあたる
相似図形をどこにつくるべきか。斜辺INをポイントにすると‥

Lを通るINに平行な線をひき、MPとの交点をR
IG//LS、NG//RSとなるようなSをつくる

IN//面LMPだから、面LMP上にあり、かつINと平行であるLRはMPと交わる。
また、Lは
DCの中点と位置がはっきりしており、
RS=8cmから、△LRSと△INGの相似比はRS:NG=8:4=2:1が利用できる。

LSの長ささえわかれば、それに対応するIGがわかる。

今度は手前で相似図形をつくる。
Rから垂線をひき、EPとの交点をTとする。
LがDCの中点⇒TはEFの中点。
△MPE∽△RPTより、RT=4×20/24=10/3cm
LS=8-10/3=14/3cm
相似比は2:1だから、IG=14/3÷2=7/3cm
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