2020年度 豊島岡女子学園高校過去問【数学】大問5解説

下の図の正三角形ABCにおいて、△BDE≡△GDE、AG=CF=1、AD=2となるように、
辺AB、BC上にそれぞれ点D、Eを、辺CA上に2点F、Gをとります。

(1)
∠DEGの大きさを求めなさい。

(2)
FGの長さを求めなさい。

(3)
3点E、F、Gを通る円の半径を求めなさい。


@解説@
(1)


情報の多い△ADGに着目。
辺の比が2:1で、あいだの角が60°…どこかで見たことのある三角形( ^ω^)・・
同じものを2つくっつけると正三角形なので、
△ADGは1:2:√3の直角三角形→∠AGD=90°

∠CGE=180-90-60=30°
△GCEで外角定理→∠GEB=30+60=90°
合同より、∠DEG=∠DEBだから、∠DEG=90÷2=45°

(2)
△ADGは1:2:√3の直角三角形→DG=√3
合同で、DB=√3
正三角形ABCの1辺ABが2+√3だから、
FG=2+√3-1-1=√3

(3)
難問(;´・ω・)
3点を通る円の半径を求めたい場合、まず円の直径を探る。
直径に対する円周角は90°だから、どこかに直角があるはずだが、
△EFGの内角を調べると∠EFG=90°が導けない…(´゚д゚`)
直径はEGではないのでは?
そこで、別の直角を探す

大問3もそうだったが、前問の解答がきちんと誘導になっている。
DG=√3、GF=√3、∠DGF=90°より、△DGFは直角二等辺三角形
∠DGFを使いたい…。残るEをどうするか?(‘Д’)

直角二等辺だから、∠DFG=45°
(1)より、∠DEG=45°(‘ω‘ )!!
点E、Fが直線DGにおいて同じ側にあり、∠DEG=∠DFGが成り立つ。
円周角定理の逆から、4点D、E、F、Gは同一円周上にある
この円の半径を求めればいい。
直径DFは1:1:√2より、√3×√2=√6
半径は√6÷2=√6/2
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