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2023年度 都立国立高校過去問【数学】大問3解説

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下の図1で、点Oは、∠ABC<90°、∠ACB<90°である△ABCの3つの頂点を通る円の中心である。円Oの周上にあり、頂点A、頂点B、頂点Cのいずれにも一致しない点をPとし、頂点Aと点Pを結ぶ。次の各問に答えよ。

〔問1〕
下の図2は、図1において、辺BCと線分APがともに点Oを通るとき、辺BCをCの方向に延ばした直線上にある点をDとし、頂点Aと点Dを結び、線分ADと円Oとの交点をEとし、点Bと点E、点Eと点P、点Pと点Dをそれぞれ結び、AE=DEの場合を表している。∠EPD=30°のとき、∠DBEの大きさは何度か。

〔問2〕
下の図3は、図1において、点Pが頂点Bを含まない弧AC上にあり、AB=ACのとき、頂点Bと点P、頂点Cと点Pをそれぞれ結び、辺ACと線分BPとの交点をFとした場合を表している。CP=CBとなるとき、△AFPは二等辺三角形であることを証明せよ。

〔問3〕
下の図4は、図1において、線分APが点Oを通るとき、頂点Aから辺BCに垂線を引き、辺BCとの交点をH、線分APと辺BCとの交点をGとした場合を表している。AP=20cm、AB=12cm、BH=GHのとき、CG:CAを最も簡単な整数の比で表せ。また、辺ACの長さは何cmか。


@解説@
〔問1〕

直径APに対する円周角→∠AEP=∠DEP=90°
AE=DE、共通辺PEより、2辺と間の角が等しいので△APE≡△DPE
対応する角で、∠APE=30°

弧AEの円周角から、∠ABE=30°
ここで△APDに着目すると、
内角が30°ー60°ー90°の三角形を2つ合わせた三角形なので正三角形

半径AO=POより、正三角形の半分である△AODの内角は30°ー60°ー90°
∠AOB=90°→△ABOは直角二等辺で∠ABO=45°
∠DBE=45-30=
15°

〔問2〕
△AFPが二等辺である証明。

△BCFを経由しても解けるが、直接、相似を指摘することができる。
弧ABの円周角より、∠ACB=∠APF(
×
CB=CP→弧CB=弧CP→∠BAC=∠FAP
2角相等だから、△ABC∽△AFP
△ABCはAB=ACの二等辺なので、△AFPも二等辺である。

〔問3〕

CG:CAに対応する辺の比を探す。
BPに補助線を引くと、対頂角や円周角で2角相等→△ACG∽△BPG
CG:CA=PG:PBを求めればいい

BH=GH、∠AHB=∠AHG、共通辺AH→2角と間の角度が等しく、△ABH≡△AGH
AB=AG=12cm
PG=20-12=8cm

また、直径APに対する円周角で∠ABP=90°
△ABPの辺の比は3:4:5→PB=16cm
CG:CA=PG:PB=8:16=1:2

1:2を活用したい。PCに補助線を入れると三平方が使えそう。
対頂角と弧ACの円周角(×)より、二角相等で△ABG∽△CPG
△ABGは等辺12cmの二等辺→△CPGも二等辺
(GC=①、AC=②とするとPC=①)

直径APに対する円周角で∠ACP=90°
PC=x、AC=2xとおいて、△APCで三平方
2+(2x)2=202
2=80
x>0より、x=4√5cm
AC=2x=8√5cm
CG:CA=1:2、AC=8√5cm
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