問題ＰＤＦ
４点Ｏ、Ａ、Ｂ、Ｃを頂点とする四面体の３つの面△ＡＢＣ、△ＯＡＢ、△ＯＢＣは、
次の図のようにＡＢ＝ＢＣ＝ＣＡ＝３、ＯＡ＝４、∠ＯＡＢ＝90°、ＯＢ＝ＯＣである。
*以下のパーセントは正答率です。
（１）①…94.4％、②…73.6％
ＯＢ＝（ ① ）であり、△ＡＢＣの面積は（ ② ）である。
（２）34.2％（部分点19.2％）
△ＯＡＢ≡△ＯＡＣを証明しなさい。
（３）①…31.9％、②…10.0％、③…0.0％
∠ＢＯＣの二等分線と辺ＢＣとの交点をＤとする。
このとき、４点Ｏ、Ａ、Ｂ、Ｄを頂点とする四面体の体積は（ ① ）である。
また、線分ＯＤの中点をＭとするとき、ＡＭ＝（ ② ）であり、
△ＯＡＭを直線ＡＭを軸として１回転させてできる立体の体積は（ ③ ）である。
＠解説＠
（１）①
組み立てると三角錐になる。
△ＯＡＢは辺の比が３：４：５の直角三角形→ＯＢ＝５
②
△ＡＢＣは１辺３の正三角形→面積は９√３/４
（２）
ＡＢ＝ＡＣ＝３
ＯＢ＝ＯＣ＝５
共通辺ＯＡ
３辺が等しいので、△ＯＡＢ≡△ＯＡＣ
（３）①
△ＯＢＣは二等辺→∠ＢＯＣの二等分線上にあるＤは底辺ＢＣの中点。
底面の△ＡＢＤは△ＡＢＣの半分。
三角錐Ｏ―ＡＢＤの体積は、９√３/４÷２×４÷３＝３√３/２
②
ＡＭを斜辺とする直角三角形をつくる。
Ｍの真下をＮとする。
ＯＭ＝ＭＤより、ＭＮ＝４÷２＝２
ＡＮ＝３√３/２÷２＝３√３/４
△ＡＭＮで三平方→ＡＭ＝√91/４
③
正解者がいなかった模様。
45分試験のラス問では処理が厳しかったか。
このような回転体になる。
ＡＭの長さは判明しているので、回転体の半径がわかればいい。
回転体の半径をＯＨとすると、ＯＨは△ＯＡＭの高さにあたる。
△ＯＡＭの面積は△ＯＡＢの半分だから、４×３√３/２÷２÷２＝３√３/２
ＯＨの長さは、３√３/２×２÷√91/４＝12√３/√91
したがって、回転体の体積は、（12√３/√91）2π×√91/４÷３＝36√91/91π
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